完全平方式

【定义】

对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A=B^2，则称A是完全平方式。

【例子】

（1）7x^2+4(√21)xy+12y^2是一个完全平方式，因为7x^2+4√(21)xy+12y^2=[(√7)x+(2√3)y]^2；

（2）x^4-4x^3+2x^2+4x+1是一个完全平方式，因为x^4-4x^3+2x^2+4x+1=(x^2-2x-1)^2；

（3）因为(AB)^2+(AC)^2+(BC)^2+2BC(A^2)+2CA(B^2)+2AB(C^2)=(AB+BC+CA)^2，所以(AB)^2+(AC)^2+(BC)^2+2BCA^2+2CAB^2+2ABC^2是一个完全平方式。

【几点注意】

（1）以上多项式，指的都是实系数多项式。所以不能称A= -P^2+2PQ-Q^2为完全平方式，因为不存在以P、Q为变元的实系数多项式B，使A=B^2。

（2）以上所说多项式，都是简单变元的多项式。我们不能随便称一个代数式或三角函数式为完全平方式。例如

①尽管有x^2-2+1/x^2=(x-1/x)^2，但是因为这里x^2-2+1/x^2和x-1/x都不是多项式，所以代数式x^2-2+1/x^2不能被称为完全平方式的。

②尽管有e^x+2+e^(-x)=[e^(x/2)+e^(-x/2)]^2，但是e^x+2+e^(-x)不能被称为完全平方式；

③尽管有1+sin2x=(cosx+sinx)^2，但是1+sin2x也不能被称为完全平方式。

【准完全平方式】

〖导言〗

如果把①改写为x^2-2(x)(1/x)+(1/x)^2，并将其中的1/x记为y，这里y是一个复合变元。

类似地在②中记u=e^(x/2)，v=e^(-x/2)；在③中记P=cosx，Q=sinx。那么u、v和P、Q都是复合变元。

〖定义〗

若对于函数式A，存在关于复合变元u1、u2、……、un的“多项式”B，使A=B^2成立，则称A是“准完全平方式”。(这里u1、u2、……、un不全是简单变元的多项式)。

〖例子〗

按照定义，上述①x^2-2+1/x^2，②e^x+2+e^(-x)和③1+sin2x都被称为“准完全平方式”。

这里所以要有“u1、u2、……、un不全是简单变元的多项式”的加注说明，主要为了区别出某些形式上貌似“准完全平方式”，但是本质上却是一个典型的“完全平方式”的情况。

例如，当P=x^2-1，Q=x时，虽然有x^4-2x^3-x^2+2x+1=[(x^2-1)^2-2(x^2-1)x+x^2]=(P-Q)^2，在形式上他是一个“准完全平方式”，但是本质上却是前述例(2)中的那个典型的“完全平方式”。

【类似概念 • 完全平方数】

若对于整数A，存在整数B，使A=B^2成立，则称A是完全平方数。

例如0，1，4，9，16，25，36，……等，都是完全平方数。