运动有限元方法

运动有限元方法(Moving Finite Element Method)

众所周知，现实中需要进行数值模拟研究的非定常问题，都存在大变形、大梯度和各类间断。而这些奇性的波形，它们的空间位置也在随时间不断的改变。这样一来，对采用固定节点的有限元方法来说，要得到保真的、高分辨率的数值解波形，是相当困难的。因为，或者是要将单元剖分的非常细小，或者需要不断地进行单元的重新剖分，以适应奇性波形位置的不断变化。后来所谓的变网格有限元方法(reforming-Grid FEM)、运动网格有限元方法(moving gird FEM)等有限元方法，就是为了解决上述困难而创立的。而且变网格方法现在有不断的创新和发展，在许多实际问题上得到了有效的应用。

这种随时间的变形单元，或者重分单元的方法取得一定的成效，有其独特的长处和理论意义。可是由于中间过程的单元重新剖分、数据处理等，极大地增加了计算的消耗。更主要的是，这些方法仍然难以达到及时和自适应的效果。

如果自适应地、及时而合理地自动实现单元尺度的调节，以适应其性问题的数值模拟需要，这就是后来发展的运动有限元法-moving FEM. 1981年Miller, Gelinas等人分别提出运动有限元方法，这是最早比较系统的讨论和应用MFEM的奠基性论文。从实质上讲，这种网格方法是Lagrangian型的。

由于随着时间的进程，节点或者单元也将相对地密集于变化剧烈的局部区域，所以能够比较有效地、细致地刻画某些剧变的现象。提出者们利用这种方法出色地计算了固定节点有限元方法难以实现的发展方程问题。例如，强非线性波问题，Stefan问题，等等。而且得到的结果和图象是非常漂亮的。