离散数学
简介离散数学(Discrete mathematics)是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。它在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时离散数学也是计算机专业的许多专业课程，如程序设计语言、数据结构、操作系统、编译技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论计算机科学基础等必不可少的先行课程。通过离散数学的学习，不但可以掌握处理离散结构的描述工具和方法，为后续课程的学习创造条件，而且可以提高抽象思维和严格的逻辑推理能力，为将来参与创新性的研究和开发工作打下坚实的基础。
随着信息时代的到来，工业革命时代以微积分为代表的连续数学占主流的地位已经发生了变化，离散数学的重要性逐渐被人们认识。离散数学课程所传授的思想和方法，广泛地体现在计算机科学技术及相关专业的诸领域，从科学计算到信息处理，从理论计算机科学到计算机应用技术，从计算机软件到计算机硬件，从人工智能到认知系统，无不与离散数学密切相关。
由于数字电子计算机是一个离散结构，它只能处理离散的或离散化了的数量关系， 因此，无论计算机科学本身，还是与计算机科学及其应用密切相关的现代科学研究领域，都面临着如何对离散结构建立相应的数学模型；又如何将已用连续数量关系建立起来的数学模型离散化，从而可由计算机加以处理。
离散数学是传统的逻辑学，集合论（包括函数），数论基础，算法设计，组合分析，离散概率，关系理论，图论与树，抽象代数（包括代数系统，群、环、域等），布尔代数，计算模型（语言与自动机）等汇集起来的一门综合学科。离散数学的应用遍及现代科学技术的诸多领域。
离散数学课程主要介绍离散数学的各个分支的基本概念、基本理论和基本方法。这些概念、理论以及方法大量地应用在数字电路、编译原理、数据结构、操作系统、数据库系统、算法的分析与设计、人工智能、计算机网络等专业课程中；同时，该课程所提供的训练十分有益于学生概括抽象能力、逻辑思维能力、归纳构造能力的提高，十分有益于学生严谨、完整、规范的科学态度的培养。
离散数学课程的教学目的，不但作为计算机科学与技术及相关专业的理论基础及核心主干课，对后续课程提供必需的理论支持。更重要的是旨在“通过加强数学推理，组合分析，离散结构，算法构思与设计，构建模型等方面专门与反复的研究、训练及应用，培养提高学生的数学思维能力和对实际问题的求解能力。”
离散数学通常研究的领域包括：数理逻辑、集合论、代数结构、关系论、函数论、图论、组合学、数论等。它是高校计算机及相关专业的重要基础课程之一。
课程内容涉及：
1．集合论部分：集合及其运算、二元关系与函数、自然数及自然数集、集合的基数
2．图论部分：图的基本概念、欧拉图与哈密顿图、树、图的矩阵表示、平面图、图着色、支配集、覆盖集、独立集与匹配、带权图及其应用
3．代数结构部分：代数系统的基本概念、半群与独异点、群、环与域、格与布尔代数
4．组合数学部分：组合存在性定理、基本的计数公式、组合计数方法、组合计数定理
5．数理逻辑部分：命题逻辑、一阶谓词演算、消解原理
离散数学被分成三门课程进行教学，即集合论与图论、代数结构与组合数学、数理逻辑。教学方式以课堂讲授为主, 课后有书面作业、通过学校网络教学平台发布课件并进行师生交流。
相关文献【1】 耿素云，屈婉玲，离散数学（国家十五规划教材），高教出版社，2004。
【2】 袁崇义，屈婉玲，王捍贫，刘田，离散数学及其应用（第4版，译著），机械工业出版社，2002。
【3】 陆钟万，计算机科学中的数理逻辑，科学出版社，2002。
【4】哈密尔顿，朱水林译，数理逻辑，华东师大出版社，1987。
【5】 耿素云，离散数学习题集--数理逻辑与集合论分册，北大出版社，1993。
【6】 张立昂，离散数学习题集--抽象代数分册，北大出版社，1990。
【7】 耿素云，离散数学习题集--图论分册，北大出版社，1990。
【8】 离散数学习题辅导软件
【9】 命题逻辑教学软件
【10】离散数学教程，耿素云，屈婉玲, 王捍贫，北京大学出版社，2002。
【11】Discrete Mathematics and Its Applications,Sixth Edition，Kenneth H.Rosen
Discrete Mathematics and Its Applications此书的价值已经被全世界几百所大学所证实,作为离散数学领域的经典教材,全世界几乎所有知名的院校都曾经使用本书作为教材.以我个人观点看来,这本书可以称之为离散数学百科.书中不但介绍了离散数学的理论和方法,还有丰富的历史资料和相关学习网站资源.更为令人激动的便是这本书少有的将离散数学理论与应用结合得如此的好.你可以看到离散数学理论在逻辑电路,程序设计,商业和互联网等诸多领域的应用实例.本书的英文版(第六版)当中更增添了相当多的数学和计算机科学家的传记,是计算机科学历史不可多得的参考资料.作为教材这本书配有相当数量的练习.每一章后面还有一组课题,把学生已经学到的计算和离散数学的内容结合在一起进行训练.这本书也是我个人在学习离散数学时读的唯一的英文教材,实为一本值得推荐的好书。
《离散数学》图书作者： 马叔良主编
出 版 社：电子工业出版社
出版时间： 2009-11-1
开本： 16开
[2]ISBN： 9787121097294
定价：￥20.00
内容简介
离散数学和微积分不同，离散数学是以离散对象为研究对象的，是计算机专业和其他一些工程专业的数学基础。本书包含了数理逻辑、集合论、数函数和递推关系、图论、代数系统及布尔代数等主要内容。本书注重理论的系统性和准确性，特别重视对理论难点的诠释，叙述通俗易读。
本书适合作为高等学校计算机专业或其他工程类专业教材使用，也可以供对离散数学有兴趣的读者自学。
目录
第1章 绪论
1.1 离散数学的研究对象
1.2 离散数学的主要内容
1.3 学习离散数学的方法
第2章 数理逻辑
2.1 命题
2.1.1 命题的概念
2.1.2 命题的表示
2.2 命题联结词
2.2.1 联结词的定义
2.2.2 命题逻辑中联结词的最小集
2.3 命题的合式公式
2.3.1 合式公式
2.3.2 语句的符号化
2.4 真值表、永真式和永假式
2.4.1 真值表
2.4.2 永真式和永假式
2.5 公式的等价和蕴含
2.5.1 公式的等价
2.5.2 公式的蕴含
2.6 公式的主范式
2.6.1 主析取范式
2.6.2 主合取范式
2.7 命题演算的推理理论
2.7.1 有效推理的概念
2.7.2 有效推理的方法
2.8 命题逻辑和二值逻辑器件
2.9 一阶谓词逻辑
2.10 命题函数和个体变量及量词
2.10.1 命题函数
2.10.2 量词
2.11 谓词公式
2.11.1 谓词公式
2.11.2 变量的约束和替换
2.11.3 谓词演算中的等价与蕴含
2.12 谓词演算的推理理论
习题
第3章 集合和关系
3.1 集合和集合的运算
3.1.1 集合的基本概念
3.1.2 集合的运算
3.1.3 集合运算中的恒等式
3.1.4 序偶和笛卡儿积
3.2 关系
3.2.1 关系及其表示法
3.2.2 几种特殊的关系
3.2.3 关系的运算
3.3 等价关系和集合的划分
3.3.1 等价关系
3.3.2 等价关系与划分
3.4 序关系和哈斯图
3.4.1 序关系
3.4.2 偏序关系的哈斯图
3.4.3 偏序集中的某些特殊元素
3.5 函数及其运算
3.5.1 函数的概念
3.5.2 函数的复合
3.5.3 逆函数
习题
第4章 数函数和递推关系
4.1 数函数概念
4.2 数函数的基本运算
4.3 数函数的母函数
4.4 递推关系
4.4.1 常系数线性递推关系
4.4.2 用母函数求解数函数的通式
习题
第5章 图论
5.1 图的基本概念和术语
5.2 路和回路
5.3 图的矩阵表示
5.4 树和生成树
5.4.1 无向树的概念
5.4.2 最小生成树
5.5 有向树及其应用举例
5.5.1 有向树的概念
5.5.2 根树的一个应用举例
5.6 欧拉图与哈密顿图
5.6.1 欧拉图
5.6.2 欧拉定理的一个应用举例
5.6.3 哈密顿图
5.7 最短路径与最长路径问题
5.7.1 最短路径
5.7.2 最长路径
5.8 平面图
习题
第6章 代数系统
……
第7章 格与布尔代数
参考文献
图书《 离散数学》
作者：魏晴宇
出版社：中国人民大学出版社
出版时间： 1993
ISBN: 9787300015781
开本： 32
定价: 15.00 元
内容简介《离散数学》作为一个单独的分枝，在世界上出现的时间并不久，不过几十年，但它的各部分内容中有相当一部分却早已出现在数学中。为什么将各个数学分支中的一些内容集中起来加以研究，并且冠上一个新的名称——离散数学呢？这主要是因为计算机科学的产生和发展。正如恩格斯所说：“……科学的状况还更多的从属于技术的状况和需要。倘若社会上有了一种技术上的需要，那就比十个大学还更能推动科学前进。”①计算机的出现，在很大程度上影响到了人们的思想和生活，对社会生产起了重大作用。为了研究计算机科学的理论基础，离散数学也就应运而生。因此，如果我们不从纯数学的角度，而从应用数学的角度来考虑，也许给离散数学换一个名称一一计算机科学的数学基础——更能说明问题。
正是因为这个原因，在计算机科学系。信息管理系都将离散数学作为必须学习的基础课程。而实践证明这种做法是正确的。
目录第一章集合论
1.基本概念和运算
2.关系
3.关系矩阵和关系图
4.等价关系和相容关系
5.关系的连接、逆关系
6.闭包运算
7.偏序
8.函数
9.运算
10.基数
11.可列集
12.不可列集
13.基数的比较
第二章命题演算
1.命题和逻辑连接词
2.合式公式
3.真值表、永真式
4.命题演算中的等价关系
5.逻辑连接词的可省略性
6.范式
7.命题演算中的推理关系
8.命题演算的推理系统
9.其他的命题逻辑系统
10.永真式系统
第三章谓词演算
1.谓词
2.量词
3.合式公式
4.合式公式的有效性
5.谓词演算的等价公式
6.谓词公式的范式
7.谓词演算的推理系统
8.导出规则和运算符规则
第四章代数结构
1.代数系统
2.同态和同构
3.半群和有么半群
4.半群的同态映射
5.循环群
6.二面体群、对称群
7.子群、群的同态
8.陪集、正规子群、商群
9.格
10.布尔代数
11.其他代数系统
第五章图论基础
1.引言
2.基本概念
3.拉姆齐问题
4.路、回路、连通图
5.欧拉图和哈密尔顿图
6.树
7.割点、桥和割集
8.连通度
9.矩阵
10.平面图
11.图的着色和四色问题
12.有向图
13.连通有向图
14.有向树
15.有向图的矩阵表示