拿破仑三角形
简介
拿破仑·波拿巴（Napoléon Bonaparte，1769-1821)，大家应该非常熟悉，可是知道吗，他在数学上也颇有建树。
下面要说的拿破仑三角形，曾经令拉普拉斯敬佩不已。
定义这个三角形是这样的：
● 在任意一个三角形的三条边上分别向外做出三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成一个等边三角形。这个由三个等边三角形中心构成的三角形称“外拿破仑三角形”。如图中的△DEF就是△ABC的外拿破仑三角形。
● 在任意一个三角形的三条边上分别向内做出三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心仍能构成一个等边三角形，这个由三个等边三角形中心构成的三角形称“内拿破仑三角形”。
证明这里提供一种最简单的证明方法，只需初中的水平就可以理解了：
证明：
如图，分别以△ABC的边BC、AC、AB为等边三角形边长，向△ABC外作等边三角形（△BCC'、△ACA'、△ABB'），设这三个三角形的中心分别为D，E，F，
则：∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°
以点A为圆心，以AF长为半径作弧；以点E为圆心，以DC长为半径作弧。设两弧在多边形AFBDCE内交于点G。则AG=AF，GE=DC。
连接GF、GA、GE，DE、DF、EF。
∵△ABF、△BCD、△ACE都是底角为30°的等腰三角形（即∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°）
∴△ABF∽△BCD∽△ACE，
∴AF/AB = AE/AC = DC/BC
又∵AG=AF，GE=DC
∴AG/AB = AE/AC = GE/BC
∴△AGE∽△ABC
∴∠GAE=∠BAC
∴∠FAG = ∠EAF-∠GAE = ∠EAF-∠BAC = ∠FAB+∠EAC = 60°
又∵AG=AF
∴△AGF为等边三角形
∴AG=AF，∠AGF=60°
∵△AGE∽△ABC
∴∠AGE=∠ABC
又∵∠FBD = ∠ABC+∠FBA+∠DBC = ∠ABC+60°
∠FGE = ∠AGE+∠AGF = ∠AGE+60°
∴∠FBD=∠FGE
∵在△FBD和△FGE中，
FB=FG，∠FBD=∠FGE，BD=GE
∴△FBD≌△FGE(SAS)
∴FD=FE
同理，FD=DE
∵FD=DE=FE
∴△DEF为等边三角形
即“外拿破仑三角形”是等边三角形。（在任意一个三角形的三条边上分别向外做出三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成一个等边三角形）
证明“内拿破仑三角形”是等边三角形过程与此相同，有兴趣的话你也可以自己试试！