剩余类

定义一个整数被正整数n除后，余数有n种情形：0，1，2，3，…，n-1，它们彼此对模n不同余。这表明，每个整数恰与这n个整数中某一个对模n同余。这样一来，按模n是否同余对整数集进行分类，可以将整数集分成n个两两不相交的子集。我们把所有与整数a对模n同余的整数构成的集合叫做模n的一个剩余类。 确切地说，若x是一个给定的正整数,则全体整数可以分成x个集，记作x□,x□,…,x□-1,其中□=0,1,…,□-1 x[i]是由一切形如ax＋i(a=0,±1,±2,…)的整数所组成的集。

剩余类的性质①每一个整数必包含在而且仅包含在上述一个集合里。②两个整数同在一个集合的充分必要条件是它们对模□同余。

剩余类与完全剩余系由此可引出抽象代数中重要的概念，如群论中的陪集，环论中的剩余类等。任取□，这□ 个数□□,□□,…,□□-1称为模□的一个完全剩余系。最常用的完全剩余系是0，1,…, □-1。如果(□,□)＝1，□是任给的整数，□□，□□,…,□□-1是模□ 的一个完全剩余系，那么,□□□+□,□□□+□,…,□□□-1+□也是模□的一个完全剩余系。但是,当□≡0(mod2)时，如果□□，□□，…,□□-1和 □□,□□,…,□□-1分别是模□的一个完全剩余系，那么□□+□□,□□+□□,…,□□-1+□□-1就不是模□ 的一个完全剩余系。1948年，S.乔拉等人证明了:设□>2,如果□□,□□,…,□□-1和□□,□□,…, □□-1分别是模□ 的一个完全剩余系, 那么□□□□，□□□□,…,□□-1□□-1不是模□ 的一个完全剩余系。