最长公共子序列
问题描述最长公共子序列也称作最长公共子串(不要求连续)，英文缩写为LCS（Longest Common Subsequence）。其定义是，一个序列 S ，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则 S 称为已知序列的最长公共子序列。
应用最长公共子序列是一个十分实用的问题，它可以描述两段文字之间的“相似度”，即它们的雷同程度，从而能够用来辨别抄袭。对一段文字进行修改之后，计算改动前后文字的最长公共子序列，将除此子序列外的部分提取出来，这种方法判断修改的部分，往往十分准确。简而言之，王朝知道、王朝百科都用得上。
算法动态规划的一个计算最长公共子序列的方法如下：
以两个序列 X、Y 为例子：
设有二维数组 f[i,j] 表示 X 的 i 位和 Y 的 j 位之前的最长公共子序列的长度，则有：
f[1][1] = same(1,1);
f[i,j] = max{f[i-1][j − 1] + same(i,j),f[i-1,j],f[i,j−1]}
其中，same(a,b)当 X 的第 a 位与 Y 的第 b 位完全相同时为“1”，否则为“0”。
此时，f[j]中最大的数便是 X 和 Y 的最长公共子序列的长度，依据该数组回溯，便可找出最长公共子序列。
该算法的空间、时间复杂度均为O(n^2)，经过优化后，空间复杂度可为O(n)。
代码（Pascal）const
maxlen=200;
var
i,j :longint;
c :array[0..maxlen,0..maxlen] of byte;
x,y,z :string; {z为x,y的最长公共字序列}
begin
readln(x);
readln(y);
fillchar(c,sizeof(c),0);
for i:=1 to length(x) do
for j:=1 to length(y) do
if x[i]=y[j]
then c[i,j]:=c[i-1,j-1]+1
else if c[i-1,j]>c[i,j-1]
then c[i,j]:=c[i-1,j]
else c[i,j]:=c[i,j-1];
z:='';
i:=length(x);
j:=length(y);
writeln(c[i,j]);
while (i>0) and (j>0) do
if x[i]=y[j]
then begin z:=x[i]+z;i:=i-1;j:=j-1 end
else if c[i-1,j]>c[i,j-1]
then i:=i-1
else j:=j-1;
if z<>'' then writeln(z);
for i:=1 to length(x) do
begin
for j:=1 to length(y) do write(c[i][j]:3);
writeln;
end;
readln;
end.
代码（C++）#include <cstdlib>
#include <iostream>
using namespace std;
#define N 105
int dp[N+1][N+1] ;
char str1[N] , str2[N];
int maxx(int a , int b)
{
if(a > b)
return a ;
return b ;
}
int LCSL(int len1 , int len2)
{
int i , j ;
int len = maxx(len1 , len2);
for( i = 0 ; i <= len; i++ )
{
dp[i][0] = 0 ;dp[0][i] = 0 ;
}
for( i = 1 ; i<= len1 ; i++)
for( j = 1 ; j <= len2 ; j++)
{
if(str1[i - 1] == str2[j - 1])
{
dp[i][j] = dp[i - 1][ j - 1] + 1 ;
}
else
{
dp[i][j] = maxx(dp[i - 1][ j ] , dp[i][j - 1]) ;
}
}
return dp[len1][len2];
}
int main()
{
while(cin >> str1 >> str2)
{
int len1 = strlen(str1) ;
int len2 = strlen(str2) ;
cout<<LCSL(len1 , len2)<<endl;
}
return 0;
}