棣美弗定理

定理法国数学家亚伯拉罕·棣·美弗(Abraham de Moivre, 1667-1754)于1707年创立该定理，并与1730年发表。

定理内容如下：

设复数z=r(cosθ+isinθ)，其n次方z^n = r^n (cos(nθ)+isin(nθ))，其中n为正整数。

证明用数学归纳法证明：

设命题p(n): z^n=r^n (cos(nθ)+isin(nθ)), n为正整数.

显然p(1)成立.

假设p(k)成立, 则当n=k+1时,

z^(k+1)=r^(k+1) (cosθ+isinθ)^(k+1)

=r^(k+1) (cosθ+isinθ)^k (cosθ+isinθ)

=r^(k+1) (cos(kθ)+isin(kθ)) (cosθ+isinθ) (∵p(k)成立)

=r^(k+1) (cos(kθ)cosθ+cos(kθ)isinθ+isin(kθ)cosθ+isin(kθ)isinθ)

=r^(k+1) (cos(kθ)cosθ-sin(kθ)sinθ+i(cos(kθ)sinθ+sin(kθ)cosθ))

=r^(k+1) (cos((k+1)θ)+isin((k+1)θ))

因此p(k+1)也成立.

所以对于全体正整数n, 原命题成立, 定理得证.

应用可用于给复数开方：

解关于x的方程 x^n=z=r(cosθ+isinθ)

有n个根 xk = (n次√r)(cos((θ+2kπ)/n)+isin((θ+2kπ)/n))

其中θ为z的辐角，k=0,1,2,...,n-1

例如 解方程x^3=1

得x1=1 , x2=(-1/2)+i(√3)/2 , x3=(-1/2)-i(√3)/2 .