黎曼曲率张量
在微分几何中，黎曼曲率张量或黎曼张量是表达黎曼流形的曲率的标准方式，更普遍的，它可以表示有仿射联络的流形的曲率 ,包括无扭率或有挠率的。曲率张量通过列维-奇维塔联络(更一般的，一个仿射联络)(或者叫协变导数)由下式给出:
这里R(u,v)是一个流形切空间的线性变换；它对于每个参数都是线性的。
注意有些作者用相反的符号定义曲率.
如果 与 是坐标向量场则[u,v] = 0所以公式简化为
也就是说曲率张量衡量协变导数的反交换性。
线性变换也称曲率变换。
对称性和恒等式黎曼曲率张量有如下的对称性:
最后一个恒等式由里奇(Ricci)发现,但是称为第一比安基恒等式(First Bianchi identity)或代数比安基恒等式(Algebraic Bianchi identity)，因为和下面的比安基恒等式相像。
这三个恒等式组成曲率张量对称性的完整列表，也就是给定说任何满足上述恒等式的张量，可以找到一个黎曼流形在某点的曲率张量和它一样。简单的计算表明这样一个张量有n(n− 1) / 12个独立分量。
另一个有用的恒等式可以由上面这些导出:
称为比安基恒等式(Bianchi identity)，经常也叫第二比安基恒等式(Second Bianchi identity)或微分比安基恒等式(Differential Bianchi identity)。它涉及到协变导数:
给定流形某点的任一坐标表示，上述恒等式可以用黎曼曲率张量的分量形式表示为:
第一（代数）比安基恒等式：或等价地写为 第二（微分）比安基恒等式：或等价地写为 其中方括号表示对下标的反对称化，分号表示协变导数。这些恒等式在物理中有应用，特别是广义相对论。