几何公理体系的基本问题
几何公理体系的基本问题
Geometry Axiomatics，fundamental problems in
几何公理体系的3个基本问题 。包括公理体系的相容性、独立性和完备性。是D.希尔伯特在《几何基础》一书中为完善欧几里得几何公理系统、各公理组间的逻辑关系而提出的。①相容性。在公理系统中如果不能推导出两个互相矛盾的命题（即互为反命题的命题），这个公理系统就称为相容的或无矛盾的，也称和谐的。一个公理体系如果有矛盾，它在逻辑上就不正确，更谈不上在现实中的应用，这种公理体系就不能成为一种理论，因此要求任何公理体系必须是相容的 。靠演绎法不能证明公理体系的相容性，因为已推证出若干条命题无矛盾，也不能保证再往下推不会出现矛盾，所以需要利用构造模型的方法，只要能找到这个公理体系的一个模型(或实现)，就证明了该公理体系必是相容的。欧几里得几何的相容性可借助解析方法将它归结为算术的相容性，即构造欧几里得几何公理体系的算术模型（或实数模型）。②独立性。公理体系的独立性是指该公理体系中的每条公理都有其存在的必要，即每条公理都不是其余公理的推论。否则，将此条公理去掉，不会影响该公理体系的结论。所以独立性的问题就是在保留同样多的推论的前提下，公理体系中公理个数最少问题。证明某一条公理独立性问题，即构造一个模型满足其他所有公理而不满足该条公理。③完备性。公理体系的完备性就是该体系中有足够个数的公理，以之为依据可推导出该体系的全部结论。例如，欧几里得在《几何原本》中所列公理，作为欧氏几何公理体系是不够的，而希尔伯特公理体系则是完备的公理体系。即它所刻画的几何空间是唯一的。如何证明，仍须用构造模型的方法，即证明该公理体系的所有模型都同构（逻辑结构相同）。如欧几里得几何公理体系完备性的证明，即由该体系的每一模型都与实数模型同构而得到它的所有模型同构。
对任何一个公理体系要求它必须是相容的，最好是独立的，至于完备性则可根据需要而定。例如，欧几里得几何体系是相容的、独立的并且是完备的，所以欧几里得几何有丰富的内容，它刻画了欧几里得空间，而绝对几何体系是不完备的，但它却既适合欧几里得几何也适合罗巴切夫斯基几何（非欧几何）。