洛伦兹变换
洛伦兹变换（Lorentz transformation）
狭义相对论中关于不同惯性系之间物理事件时空坐标变换的基本关系式。设两个惯性系为S系和S′系，它们相应的笛卡尔坐标轴彼此平行 ，S′系相对于S系沿x方向运动 ，速度为v，且当t＝t′＝0时，S′系与S系的坐标原点重合，则事件在这两个惯性系的时空坐标之间 的洛伦兹变换为 x′＝γ（x－vt），y′＝y，z′＝z，t′＝γ（t－vx／c2），式中γ＝（1－v2／c2）-1/2；c为真空中的光速 。不同惯性系中的物理定律必须在洛伦兹变换下保持形式不变。
在相对论以前，H.A.洛伦兹从存在绝对静止以太的观念出发，考虑物体运动发生收缩的物质过程得出洛伦兹变换 。在洛伦兹理论中，变换所引入的量仅仅看作是数学上的辅助手段，并不包含相对论的时空观。爱因斯坦与洛伦兹不同 ，以观察到的事实为依据，立足于两条基本原理：相对性原理和光速不变原理，着眼于修改运动、时间、空间等基本概念，重新导出洛伦兹变换，并赋予洛伦兹变换崭新的物理内容 。在狭义相对论中，洛伦兹变换是最基本的关系式，狭义相对论的运动学结论和时空性质，如同时性的相对性、长度收缩、时间延缓、速度变换公式、相对论多普勒效应等都可以从洛伦兹变换中直接得出。
洛伦兹变换的简明推导
事实一：相对性原理。物理定律在所有的惯性系（惯性系就是能让牛顿第一定律成立的参考系）中都是相同的。也就是说，不同惯性系的物理方程形式是相同的。比如，在低速条件下，牛顿三定律的公式在地球惯性系中是这样写的，在太阳惯性系中也是一样的写法
事实二：光速不变。在所有惯性系中，真空中的光速等于恒定值c。光速大小与参考系之间的相对运动无关，也与光源、观察者的运动无关
现在根据这两个事实，推导坐标的变换式
设想有两个惯性坐标系分别叫S系、S'系，S'系的原点O‘相对S系的原点O以速率v沿x轴正方向运动。任意一事件在S系、S'系中的时空坐标分别为（x，y，z，t）、（x'，y'，z'，t'）。两惯性系重合时，分别开始计时
若x=0，则x'+vt'=0。这是变换须满足的一个必要条件，故猜测任意一事件的坐标从S'系到S系的变换为
x=γ(x'+vt') (1)
式中引入了常数γ，命名为洛伦兹因子
（由于这个变换是猜测的，显然需要对其推导出的结论进行实验以验证其正确性）
在此猜测上，引入相对性原理，即不同惯性系的物理方程的形式应相同。故上述事件坐标从S系到S'系的变换为
x'=γ(x-vt) (2)
y与y'、z与z'的变换可以直接得出，即
y'=y (3)
z'=z (4)
把（2）代入（1），解t'得
t'=γt+(1-γ^2)x/γv (5)
在上面推导的基础上，引入光速不变原理，以寻求γ的取值
设想由重合的原点O（O'）发出一束沿x轴正方向的光，设该光束的波前坐标为（X，Y，Z，T)、(X'，Y'，Z'，T')。根据光速不变，有
X=cT (6)
X’=cT' (7)
（1）（2）相乘得
xx'=γ^2( xx'-x'vt+xvt'+v^2*tt') (8)
以波前这一事件作为对象，则（8）写成
XX'=γ^2(XX'-X'VT+XVT'+V^2*TT') (9)
（6）（7）代入（9），化简得洛伦兹因子
γ=[1-(v/c) ^2]^(-1/2) (10)
（10）代入（5），化简得
t'=γ(t-vx/c^2) (11)
把（2）、（3）、（4）、（11）放在一起，即S系到S'系的洛伦兹变换
x'=γ(x-vt)，
y'=y，
z'=z，
t'=γ(t-vx/c^2) (12)
根据相对性原理，由（12）得S'系到S系的洛伦兹变换
x=γ(x'+vt')，
y=y'，
z=z'，
t=γ(t'+vx'/c^2) (13)
下面求洛伦兹变换下的速度变换关系
考虑分别从S系和S'系观测一质点P的运动速度。设在S系和S'系中分别测得的速度为u(j，n，m)和u'(j'，n'，m')
由（12）对t'求导即得 S系到S'系的洛伦兹速度变换
j'=(j-v)/(1-vj/c^2)，
n'=n/[γ(1-vj/c^2)^-1]，
m'=m/[γ(1-vj/c^2)^-1] (14)
根据相对性原理，由（14）得S'系到S系的洛伦兹速度变换
j=(j'+v)/(1+vj'/c^2)，
n=n'/[γ(1+vj'/c^2)^-1]，
m=m'/[γ(1+vj'/c^2)^-1] (15)
洛伦兹变换结合动量定理和质量守恒定律，可以得出狭义相对论的所有定量结论。这些结论得到实验验证后，也就说明了狭义相对论的正确性
经典的洛伦兹变换经典的洛伦兹变换指出：我们将求出相对论的变换公式，这些公式恰好是根据那个事件间的间隔不变的要求的。如果我们为了便于以后的叙述利用量τ= ict，那么，正如在§1-2里所看到的二事件间的间隔可以认为是在四度空间内的相对应的两个世界点间的距离。因此我们可以说，所要求的变换，必须是使所有在四度空间x，y，z，τ内的距离不变的变换。但是这些变换仅仅包括坐标系统的平移与旋转。其中，我们对于坐标轴对自己作平行移动并无兴趣，因为这不过是将空间坐标的原点移动一下、并将时间的参考点改变一下而已。所以，所要求的变换，在数学上应当表示为四度坐标系统x，y，z，τ的旋转。四度空间内的一切旋转，可以分解为六个分别在六个平面xy，yz，zx，xτ，τy，τz内的旋转（正如在三度空间内的一切旋转可以分解为xy，yz，zx三个平面内的旋转一样）。其中，前三个旋转仅仅变换空间坐标，它们和通常的空间旋转相当。我们研究在xτ平面内的旋转，这时y与z坐标是不变的。令ψ为旋转角，那么，新旧坐标的关系就由以下二式决定：
x = x’conψ –τ’sinψ，τ= x’sinψ +τ’conψ （1）
参见上图：
我们现在要找出由一个惯性参考系统K到另一个惯性参考系统K’的变换公式，K’以速度V沿X轴对K作相对运动。在这种情况下，显然只有空间坐标x与时间坐标τ发生变化。所以这个变换必须有(1）式的形式。现在只剩下确定旋转角ψ的问题，而ψ又仅与相对速度V有关。我们来研究参考系统K’的坐标原点在K内的运动。这时，x’ = 0，而公式(1)可写成：
x = –τ’sinψ； τ=τ’conψ。 (2）
相除可得
x/τ= - tanψ (3）
但τ= ict，而 x/t显然是K’ 对K的速度V。因此，
tanψ = iV/c (4)
由之得
sinψ= (iV/c)/(1-V2/c2)1/2，cosψ=1/(1-V2/c2)1/2 (5）
代入(2)，得：
x = (x’ - iVτ’)/(1-V2/c2)1/2，y = y’，z = z’，
τ= (τ’ + iVx’/c)/(1-V2/c2)1/2 (6）
再将τ= ict，τ’ = ict’代入，最后得
x = (x’ + Vt’)/(1-V2/c2)1/2，y = y’， z = z’，
t = (t’+ Vx’/c2)/(1-V2/c2)1/2 (7)
这就是所要求的变换公式。它们被称为洛伦兹变换式，是今后讨论的基础。（参见《场论》，Л.Л.朗道、Е.М.栗弗席兹著，任朗、袁炳南译，人民教育出版社1958年8月第一版，第14—15页）
正如所知，这一组关系式就是著名的“洛伦兹变换公式”，也是爱因斯坦狭义相对论的数学基础。的确，按照这一组关系式，只能得出：运动系上的时间坐标（r’）和空间坐标（t’），在运动中会产生“钟慢尺缩”效应
洛伦兹变换的物理本质上面已经指出，狭义相对论的数学基础是(7)式。可是，我们不得不严肃地指出：爱因斯坦在使用这个公式时，却忽略了导出这个公式的前提条件，这是一个重大失误！也许这个失误是来自于洛伦兹本人。但不管是谁的失误，都没有理由把这个失误再带进二十一世纪！
说洛伦兹本人在洛伦兹变换中存在失误，是因为在这个变换的结果中，洛伦兹忽略了变换公式(7)成立的前提条件。本来在这个变换的一开始，洛伦兹就明确地指出：“我们来研究参考系统K’的坐标原点（O’）在参考系统K内的运动。这时，x’ = 0。”——既然我们研究地是K’ 的坐标原点（O’）在K内的运动，那么，不仅有x’ = 0，而且还有y’ = 0，z’ = 0。不言而喻，这些关系都是(7)式成立的前提条件。只要考虑了这些关系式成立的前提条件，则(7)式便可以进一步地改写成：
x = Vt’/(1-V2/c2)1/2 (8)
以及，
t = t’/(1-V2/c2)1/2 (9)
当我们再注意到V = x/t，则(8)式也同样化为(9)。于是，我们就可以得出洛伦兹变换公式的最终结果是：
t = t’/(1- V2/c2)1/2 (10)
由此可见，经典的洛伦兹变换公式(7)的前三个关系式实在有些多余！！
既然只有上式才是洛伦兹变换的最终结果，那么，洛伦兹变换的物理基础又是什么呢？下面，我们就来说明这一点。在上图中，如果先不考虑τ是“虚轴”，则该图就表示了在实数坐标下的“转轴变换”。这样，根据“勾股弦定理”，就可以从上图中简单地得出：
OM22 = Ox2 + Oτ2 (11)
以及，
OM22 = Ox’2 + Oτ’2 (12)
在图中，因为r=OM2，所以
r2 = Ox2 + Oτ2 (13)
以及，
r2 = Ox’2 + Oτ’2 (14）
这里的前提条件是Oτ= ict，Oτ’ = ict’，所以有：
Oτ2 = - c2t2 (15)
以及，
Oτ’2 = - c2t’2 (16)
我们再将式(15)和式(16)分别地代入式(13)与式(14)，便可以得出：
r2 = Ox2 - c2t2 (17)
以及，
r2 = Ox’2 - c2t’2 (18）
引入L2 = Ox2以及 L’2 = Ox’2，则上式可以改写成：
r2 + c2t2 = L2 (19)
以及，
r2 + c2t’2 = L’2 (20)
如果再把式(19)与式(20)的两边同时地减去2r2，则得出：
c2t2 - r2 = L2 - 2r2 (21)
以及，
c2t’2 - r2 = L’2 -2r2 (22)
再引入
Δs2 = L2 - 2r2 (23)
以及，
Δs’2 = L’2 - 2r2 (24)
则式(21)和式(22)可以分别地改写成：
Δs2 = c2t2 - r2 (25)
以及，
Δs’2 = c2t’2 - r2 (26)
不难看出，式(25)和式(26)同狭义相对论所定义的“间隔平方”具有类似的数学形式，只不过式（25）中的距离平方是r2而不是r’2。然而，当我们注意到r’ 与 r仅仅是运动观测者与静止观测者对于二者相对运动所形成的空间距离的不同表示，所以，应有r’ ≡r。
在上图中，由于c2t2 ≠c2t’2，所以Δs2 ≠Δs’2。由此可见，在狭义相对论中，爱因斯坦根据光速不变原理所证明的“间隔相等”的结论，在任何情况下都是不可信的！
假如我们令Δs’2 = 0，则有c2t’2 - r2 = 0。那么，Δs’2就是站在以光速运动事件上的观测者利用“运动时钟”（t’）得出地自己相对于“静止时钟”（t）的间隔平方，而Δs2就是静止的观测者用“静止时钟”所记录的“运动时钟”相对于自己运动的间隔平方。尽管运动距离（r）对于站在这一运动距离两端上的观测者（K’ 和K）来说是同一个物理量，即r’ ≡r，但他们使用的时钟是截然不同的。由此可见，Δs和Δs’不过是代表了作相对运动的两个观测者，对于同一个运动事件观测结果的相对性。——这一点，这正是对于相对论概念的新思考。
基于上述理解，我们便可以利用客观性原理，勒令这些分明不相等的“间隔平方”一律相等，即Δs2 =Δs’2。为了理解方便，这里把相对运动观测者所描述的运动距离记做r’，而把相对静止观测者眼睛里的运动距离继续记做r，并注意到r≡r’，就得出：c2t2 - r2 = c2t’2 - r’2。从相对地意义上来讲，站在运动事件之上的观测者、以自己的所在位置为坐标原点时，运动距离r’= 0，由此而得出：
c2t2 - r2 = c2t’2 (27)
这正是辩证法的“否定之否定”规律在物理学中的具体应用。
现在，我们把上式两边同除以c2t2，并用V2 = r2/t2代表静止观测者用静止时钟（t）所得出地运动时钟的相对速度平方，结果，便可以直接地得出：
t = t’/(1 – V2/c2)1/2 (28)
由此可见，洛伦兹变换的物理基础乃是客观性原理，而并不是所谓的光速不变原理。
四 虚拟空间与虚拟速度
现在，我们回过头看一下(21)和(22)式。假如两个观测者重合在一个位置，则运动时钟（t’）和静止时钟（t）就“合二而一”，并且两个观测者之间相对运动的距离r = 0，由此便可以得出：
ct = L ； ct’ = L’ (29)
注意到这时的t’ = t，所以有 L’ = L。这里我们把L’和L定义为“虚拟空间”。——它的物理意义是：随着时间的流逝，假若是运动事件（或质点）以光的绝对速度（c）运动的话，那么，它在时间间隔t’ 与 t内，所能走过的虚拟的“空间距离”。
（一） 这里的一个极端情况是：两个观测者之间以光度c作相对运动。这时，我们可以
从式(21)和式(22)得出：
L2/t2 = c2 + V2 ； L’2/t’2 = 2c2 (30)
其中，c = r’/t’；V = r/t。如果我们把 ɡ’ = L’/t’ 和 ɡ = L/t分别地定义为运动系和静止系上的“虚拟速度”，结合以上的讨论，我们便可以得出：
ɡ’max = c (31)
以及，
ɡ = (c2 + V2)1/2 (32)
这一结果表明：站在运动事件之上的观测者，可以得出他的最大虚拟速度（ɡ’max）是光速c的 倍；以及站在运动事件之外相对静止的观测者，可以得出他的虚拟速度（ɡ）随着事件（或质点）相对速度V的提高而提高。
（二） 这里的另一个极端情况是：K’ 和K重合。这时，并不存在两个观测者的相对运动，于是两种虚拟速度完全相同，即 ɡ’= ɡ = c。 结果只有时间的流逝是真实的，而运动是虚拟的。虚拟空间关系及虚拟速度的出现，与上述情况有不可分割地联系出现。——我们说，“虚拟空间”和“虚拟速度”的根本原因在于：“由物质运动所形成的空间关系”与“现存的空间关系”之间，存在着本质的差别。而我们的几何学仅仅是现存空间关系的数学抽象，是基于相互作用传递速度为无穷大、以及超距作用原则条件下的几何抽象。所以说，现存空间关系的几何学，不能无条件地反映物质在实际运动过程中所形成的各种空间关系。可是我们物理学，从诞生的那一时刻开始，就把数学（几何学）作为物理表象的一种工具。这里，最大虚拟速度（ɡ’max）之所以等于 c，是由于我们假设了虚拟速度在X轴上的分量等于光的绝对速度c，因此导致：虚拟速度的最大值是在虚拟速度和X轴的夹角为450。时的函数值。
洛伦兹收缩的由来在经典的洛伦兹变换中（参见《场论》，同上，第16—17页）：假设K系统内有一根平行于X轴的静止的棍子。假定它在K系统内测定的长度为Δx = x2 – x1（x2 和 x1为棍子两端在K系统内的坐标）。我们现在求这个棍子在K’系统内的长度。为了这个目的，我们需要在同一瞬间t2’ 找出棍子两端在K’中的坐标x’2和x’1 。由(7)式我们得到
x1= (x’1+ Vt’)/(1 – V2/c2)1/2 (33)
以及
x2= (x’2+ Vt’)/(1 – V2/c2)1/2 (34)
棍子在K’ 内的长度是Δx’ = x’2 – x’1；由x2减去x1，得
Δx = Δx’/(1 – V2/c2)1/2 (35）
棍子的“固有长度”是它在相对它为静止的那个参考系内的长度。以ι0 =Δx代表这个固有长度，以ι代表它在任何其他参考系K’内的长度。那么，
ι=ι0 (1 – V2/c2)1/2 (36）
因此，一根棍子在同它保持相对静止的那个参考系K内最长。在同它以速度V运动的那个参考系统K’内，长度就要减少到(1 – V2/c2)1/2倍。相对论把这个结果称为洛伦兹收缩。
显然，“在同一瞬间找出棍子两端在K’ 中的坐标x’2和x’1”的提法本身存在着严重的逻辑谬误！！因为，相对论问题的前提是：绝对同时性的时间观念已经不存在。所以，作为相对静止坐标系统（K）上的观测者，就不可能在同一瞬间又站到相对运动的坐标系统（K’）之上；反过来说，相对运动坐标系（K’）上的观测者，也不可能在同一瞬间又站到相对静止的坐标系统（K）之上。倘若站在K系统上的观测者真地能够在“同一瞬间”找出棍子两个端点在K’ 系统中的坐标x’2和x’1的话，那么，K和K’之间肯定是都没有摆脱绝对同时性的时间观念！
众所周知，狭义相对论把跟随某个给定物体系统（K’）一起运动的时钟显示的时间称为该物体的“固有时”。类似上述的推导过程，可以写出固有时间隔（Δt’）同静止系（K）对应的时间间隔（Δt）之间的相互关系应为：
Δt = Δt’/(1 – V2/c2)1/2 (37)
其实，无论是一根长度为ι0的棍子，还是一个其他的物理量，两个端点的坐标（x1和x2）都可以通过假定它们在K’系坐标原点上的坐标x’1 =0，x’2 =0的前提推导出来。所以，这里只要注意到：
Δt= (t2 –t1)，Δt’= (t’2 –t’1)，Δt=Δt’/(1–V2/c2)1/2
以及，
υx = Vx/(1 – V2/c2)1/2，Vx = x/t =Δx/Δt = dx/dt，
则(35)和(37)式就正好是满足于洛伦兹变换前提条件的(8)式和(10)式。
的确，如果按照(36)和(37)式，运动系上的尺子（ι0）会产生缩短，时钟的固有时（Δt’）变慢。这里的问题是：到底什么原因使尺子缩短、使时钟变慢呢？为了回答这个问题，我们用经典的洛伦兹变换(7)式及“四度线段”的定义来进行反向地推导。结果由(7)式就得出：
x2 + y2 + z2 +τ2 = x’2 + y’2 + z’2 +τ’2 (38）
显然，上式并没有表现出在“不带撇”和“带撇”的两个不同坐标系之间，时空尺度有任何收缩。所以说，洛伦兹收缩的真正原因并不是来自于坐标系K’ 的相对运动。
诚如上述，在洛伦兹变换中，我们曾经引入τ= ict以及τ’ = ict’。这里先不考虑洛伦兹变换公式(7)式成立的前提条件：x’ = 0，y’ = 0，z’ = 0；以及 y = z = 0。而是用三度径矢的绝对值|r|和|r’| 来表示上式的三度空间坐标，并把τ和τ’ 所代表的值代入上式，上式便可以立刻地改写成：
c2t2 – r2 = c2t’2 – r’2 (39）
显然，这个关系式就是爱因斯坦所证明的“间隔相等”，也是狭义相对论成立的前提条件。
铁的事实是，没有间隔相等的前提条件就没有洛伦兹变换，没有洛伦兹变换也就没有爱因斯坦的狭义相对论。然而，正如我们在前面所证明的那样：不仅由光速不变原理所证明的“间隔相等”在任何情况下都是靠不住的，且关于“间隔相等”的结论也根本不可能从数学推导中获得证明，而只能从物理事实中来加以说明。所以说，用以说明“间隔相等”的物理事实只能是“客观性原理”，而不可能是“光速不变原理”。由此可见，所谓的洛伦兹收缩就只能是来自于一个简单地逻辑循环，而不是形式逻辑的数学证明！！
我们不会忘记，客观性原理的内容是：客体具有不依赖于主体的客观内容。——这是一个辩证逻辑下的“综合命题”。因此说，由客观性原理所证明的“洛伦兹收缩”只能代表着“主体”对“客体”观测结果的相对性，而不能代表“时间和空间都不是客观实在，而是人的直观形式”。由此而论，在相对主义时空观念上的洛伦兹收缩根本不存在，任何相信时间和空间在运动中会产生洛伦兹收缩的观点都是不折不扣的主观唯心主义思潮！
结 论基于上述讨论，我们可以得出一个结论：经典的洛伦兹变换由于忘记了这个公式本身成立的前提条件，因而并不是最终地变换结果。当我们注意到这个变换公式成立的前提条件之后，所得出的最终变换结果只有一个关系式。事实证明，这一最终结果仅仅是客观性原理的直接推论。所以说，洛伦兹变换的物理基础是客观性原理而不是光速不变原理。从最终的变换公式出发，根本不可能得出洛伦兹收缩的结论。狭义相对论之所以得出了这样的结论，从客观上说，是由于爱因斯坦没有摆脱绝对同时性的时间观念；从主观上说，是由于爱因斯坦深受马赫的相对主义思潮地影响，因而不懂得用辩证唯物主义的认识论来对待这个问题。