Arakelov不等式
定义Arakelov不等式(Arakelov inequality)是反映半稳定的曲面纤维化f:X→C的相对不变量χ_f=deg f_*ω_{X/C}和奇异纤维个数s,纤维亏格g以及底曲线亏格b=g(C)之间的关系的重要不等式。它的表述如下：
χ_f<（g-q_f）(b-1+s/2).
这里q_f=q(X)-b, q(X)=h^1(O_X)是曲面非正则性。
这一不等式也可以改进为：
χ_f<（g-q_f）(b-1+r/2).
这里r是奇异雅可比纤维的个数。 所谓奇异雅可比纤维就是指其组合结构所对应的对偶图含有圈。显然r≦s.
值得注意的是，此处纤维化是半稳定纤维化 这一条件较为重要。 如果不是奇异纤维不是半稳定纤维， 那么不等式需要改为：
χ_f<（g-q_f）(b-1+r).
注记： 上述这些形式并非原始的Arakelov不等式， 见下述背景介绍。
背景Arakelov不等式是Arakelov理论中的重要不等式。 原始的不等式没有上述不等式那么精确， 而是如下表达形式：
χ_f<g(b-1+s/2).
建立这一不等式的初衷是为了给出算术代数几何中的高度不等式。 所谓高度不等式， 在经典代数几何理论--特别是代数曲面理论-中，相当于Vojta不等式（也就是典范类不等式）这一类型的不等式。
曲面情形的Arakelov不等式目前的改进形式，来自于谈胜利、左康和E.Viehweg的合作工作。 事实上， 这一不等式可以写为一个精确的等式， 其误差部分，与Hodge数h^{1,1}(X)的估计有关。
推广Arakelov不等式高维情形的深刻推广来自于左康和E. Viehweg的著名工作。设f:X→C是一般纤维为n维代数簇的纤维化， C是亏格b的底曲线， 奇异纤维个数s。由多重典范线性系|νK_{X}|诱导的关于f的正向层记为E. 设F是E的秩为k的子层。那么我们有
deg F≦(nνk)(b-1+s/2).
如果考虑曲面情形，那么这一不等式的极限情形蕴含了典范类不等式 ， 而后者又等价于开曲面情形的宫冈-丘不等式。 反过来， 典范类不等式结合肖刚不等式可以推出原始的Arakelov不等式。
应用考虑曲面情形。 设f:X→C是半稳定的亏格g纤维化, 底曲线是射影直线P^1(也就是亏格0的代数曲线， 或者也可看成扩充复平面)。 那么我们得到如下结论:
(1) f至少有4条奇异雅可比纤维， 因此也就至少有4条奇异纤维；
(2) 如果恰好有4条奇异雅可比纤维， 那么曲面亏格p_g(X)=0, 非正则性q(X)≦1.
进一步还可以得到精确的充要条件，这里限于篇幅，不再详细叙述。
一个曲面纤维化如果只有两条奇异纤维，且底曲线是射影直线， 那么由上述推论可知， 该纤维化必为isotrivial纤维化。