最大素数
已发现的“最大素数”迄今为止，人类发现的最大的素数是 2^43112609-1，这是第 46个 梅森(Mersenne)素数。
素数也叫质数，是只能被自己和 1 整除的数，例如2、3、5、7、11等。2500 年前，希腊数学家欧几里德证明了素数是无限的，并提出少量素数可写成“2 的n次方减 1”的形式，这里 n 也是一个素数。此后许多数学家曾对这种素数进行研究，17 世纪的法国教士马丁·梅森(Martin Mersenne)是其中成果较为卓著的一位，因此后人将“2的n次方减1”形式的素数称为梅森素数。
第19~41个梅森素数
序号 素数 位数 发现人 时间
41 2^24036583-1 7235733 John Findley 2004
40 2^20996011-1 6320430 Michael Shafer 2003
39 2^13466917-1 4053946 Michael Cameron 2001
38 2^6972593-1 2098960 Nayan, Woltman, Kurowski 1999
37 2^3021377-1 909526 Clarkson, Woltman, Kurowski 1998
36 2^2976221-1 895932 Spence, Woltman 1997
35 2^1398269-1 420921 Armengaud, Woltman 1996
34 2^1257787-1 378632 Slowinski & Gage 1996
33 2^859433-1 258716 Slowinski & Gage 1994
32 2^756839-1 227832 Slowinski & Gage 1992
31 2^216091-1 65050 David Slowinski 1985
30 2^132049-1 39751 David Slowinski 1983
29 2^110503-1 33265 Welsh & Colquitt 1988
28 2^86243-1 25962 David Slowinski 1982
27 2^44497-1 13395 Slowinski & Nelson 1979
26 2^23209-1 6987 L. Curt Noll 1979
25 2^21701-1 6533 Nickel & Noll 1978
24 2^19937-1 6002 Bryant Tuckerman 1971
23 2^11213-1 3376 Donald B. Gillies 1963
22 2^9941-1 2993 Donald B. Gillies 1963
21 2^9689-1 2917 Donald B. Gillies 1963
20 2^4423-1 1332 Alexander Hurwitz 1961
19 2^4253-1 1281 Alexander Hurwitz 1961
1995 年，美国程序设计师乔治·沃特曼整理有关梅森素数的资料，编制了一个梅森素数计算程序，并将其放置在因特网上供数学爱好者使用，这就是“因特 网梅森素数大搜索”计划。目前有6万多名志愿者、超过20万台计算机参与这项计划。该计划采取分布式计算方式，利用大量普通计算机的闲置时间，获得相当于 超级计算机的运算能力，第 37、38 和 39 个梅森素数都是用这种方法找到的。美国一家基金会还专门设立了 10 万美元的奖金，鼓励第一个找到超过千万位素数的人。
有没有最大素数不存在最大质数!
上小学的时候，我们就知道所有的自然数可以分为质数（素数）和合数两类，当然还特别规定了“1既不是质数，也不是合数”。100以内的质数，从小到大依次是：2、3、5、7、11、13、17、19、……、83、89、97。不用说了，你一定会背下来。那么质数的个数是不是有限多的呢？
在解决这个问题之前，我们先来看看另一个问题：怎样判断一个已知自然数是不是质数。比如，143是不是质数？
你一定会按照下面这个步骤去判断： 先用最小的质数2去除143，不能整除；再用3去试试，还是不行；再依次用5、7试试，还是不行；11呢？行！143＝11×13，所以143不是质数，而是合数。所以，判断一个数是不是质数，只需用比这个数小的所有质数，依次去除它即可，如果都不能整除的话，这个数就一定是质数；相反，只要这个数能够被某一个质数整除，这个数就一定是合数。这种方法所依据的原理是：每一个合数都可以表示成若干个质数的乘积。不用说，这叫做“分解质因数”，也是小学数学的知识。
我们先假设质数的个数是有限多的，那么必然存在一个“最大的质数”，设这个“最大的质数”为N。下面我们找出从1到N之间的所有质数，把它们连乘起来，就是：
2×3×5×7×11×13×……×N
把这个连乘积再加上1，得到一个相当大的数M：
M＝2×3×5×7×11×13×……×N＋1
那么这个M是质数还是合数呢？ 乍一想，不难判断，既然N是最大的质数，而且M＞N，那么M就应该是合数。既然M是合数，就可以对M分解质因数。可是试一下就会发现，我们用从1到N之间的任何一个质数去除M，总是余1！这个现实，又表明M一定是质数。
这个自相矛盾的结果，无非说明： 最大的质数是不存在的！如果有一个足够大的质数N，一定可以像上面那样，找到一个比N更大的质数M。既然不存在最大的质数，就可以推知自然数中的质数应该有无限多个。