对数

王朝百科·作者佚名 2009-10-24

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数学术语

对数的概念英语名词：logarithms

如果a^n=b，那么log(a)(b)=n。其中，a叫做“底数”，b叫做“真数”，n叫做“以a为底b的对数”。

log(a)(b)函数叫做对数函数。对数函数中b的定义域是b>0，零和负数没有对数；a的定义域是a>0且a≠1。

对数的历史

约翰·纳皮尔/约翰·奈皮尔/约翰·内皮尔（John Napier，1550～1617），苏格兰数学家、神学家，对数的发明者。

Napier出身贵族，于1550年在苏格兰爱丁堡附近的小镇梅奇斯顿（Merchiston Castle,Edinburgh,Scotland）出生，是Merchiston城堡的第八代地主，未曾有过正式的职业。

年轻时正值欧洲掀起宗教革命，他行旅其间，颇有感触。苏格兰转向新教，他也成了写文章攻击旧教（天主教）的急先锋（主要文章于1593年写成）。其时传出天主教的西班牙要派无敌舰队来攻打，Napier就研究兵器（包括拏炮、装甲马车、潜水艇等）准备与其拚命。虽然Napier的兵器还没制成，英国已把无敌舰队击垮，他还是成了英雄人物。

他一生研究数学，以发明对数运算而著称。那时候天文学家Tycho Brahe（第谷，1546～1601）等人做了很多的观察，需要很多的计算，而且要算几个数的连乘，因此苦不堪言。1594年，他为了寻求一种球面三角计算的简便方法，运用了独特的方法构造出对数方法。这让他在数学史上被重重地记上一笔，然而完成此对数却整整花了他20年的工夫。1614年6月在爱丁堡出版的第一本对数专著《奇妙的对数表的描述》（"Mirifici logarithmorum canonis descriptio"）中阐明了对数原理，后人称为纳皮尔对数：Nap logX。1616年Briggs（亨利·布里格斯，1561 - 1630）去拜访纳皮尔，建议将对数改良一下以十为基底的对数表最为方便，这也就是后来常用的对数了。可惜纳皮尔隔年于1617年春天去世，后来就由Briggs以毕生精力继承纳皮尔的未竟事业，以10为底列出一个很详细的对数表。并且于1619年发表了《奇妙对数规则的结构》，于书中详细阐述了对数计算和造对表的方法。

纳皮尔对数字计算特别有研究，他的兴趣在于球面三角学的运算，而球面三角学乃因应天文学的活动而兴起的。他重新建立了用于解球面直角三角形的10个公式的巧妙记法——圆的部分法则（"纳皮尔圆部法则"）和解球面非直角三角形的两个公式——"纳皮尔比拟式"，以及做乘除法用的"纳皮尔算筹"。此外，他还发明了纳皮尔尺，这种尺子可以机械地进行数的乘除运算和求数的平方根。

对数的性质及推导定义：

若a^n=b(a>0且a≠1)

则n=log(a)(b)

基本性质：

1、a^(log(a)(b))=b

2、log(a)(a^b)=b

3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);

4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);

5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

6、log(a^n)M=1/nlog(a)(M)

推导

1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。

2、因为a^b=a^b

令t=a^b

所以a^b=t，b=log(a)(t)=log(a)(a^b)

3、MN=M×N

由基本性质1(换掉M和N)

a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] =(M)*(N)

由指数的性质

a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}

两种方法只是性质不同,采用方法依实际情况而定

又因为指数函数是单调函数，所以

log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)

4、与（3）类似处理

MN=M÷N

由基本性质1(换掉M和N)

a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)]

由指数的性质

a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}

又因为指数函数是单调函数，所以

log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N)

5、与（3）类似处理

M^n=M^n

由基本性质1(换掉M)

a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n

由指数的性质

a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n}

又因为指数函数是单调函数，所以

log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

基本性质4推广

log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]

推导如下：

由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)，e称作自然对数的底]

log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)

换底公式的推导：

设e^x=b^m,e^y=a^n

则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y

x=ln(b^m),y=ln(a^n)

得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)

由基本性质4可得

log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}

再由换底公式

log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)] --------------------------------------------（性质及推导完）

函数图象1.对数函数的图象都过(1,0)点.

2.对于y=log(a)(n)函数,

①,当0<a<1时,图象上函数显示为(0,+∞)单减.随着a 的增大,图象逐渐以(1,0)点为轴顺时针转动,但不超过X=-1.

②当a>1时,图象上显示函数为(0,+∞)单增,随着a的增大,图象逐渐以(1.0)点为轴逆时针转动,但不超过X=1.

3.与其他函数与反函数之间图象关系相同,对数函数和指数函数的图象关于直线y=x对称.

其他性质性质一：换底公式

log(a)(N)=log(b)(N)÷log(b)(a)

推导如下：

N = a^[log(a)(N)]

a = b^[log(b)(a)]

综合两式可得

N = {b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}

又因为N=b^[log(b)(N)]

所以 b^[log(b)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}

所以 log(b)(N) = [log(a)(N)]*[log(b)(a)] {这步不明白或有疑问看上面的}

所以log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a)

公式二：log(a)(b)=1/log(b)(a)

证明如下：

由换底公式 log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a) ----取以b为底的对数

log(b)(b)=1 =1/log(b)(a) 还可变形得: log(a)(b)×log(b)(a)=1

在实用上，常采用以10为底的对数，并将对数记号简写为lgb,称为常用对数，它适用于求十进伯制整数或小数的对数。例如lg10=1,lg100=lg102=2,lg4000=lg（103×4）=3+lg4,可见只要对某一范围的数编制出对数表，便可利用来计算其他十进制数的对数的近似值。在数学理论上一般都用以无理数e=2.7182818……为底的对数，并将记号 loge。简写为ln，称为自然对数，因为自然对数函数的导数表达式特别简洁，所以显出了它比其他对数在理论上的优越性。历史上，数学工作者们编制了多种不同精确度的常用对数表和自然对数表。但随着电子技术的发展，这些数表已逐渐被现代的电子计算工具所取代。

100以内的对数表

log

0000

0043

0086

0128

0170

0212

0253

0294

0334

0374

0414

0453

0492

0531

0569

0607

0645

0682

0719

0755

0792

0828

0864

0899

0934

0969

1004

1038

1072

1106

1139

1173

1206

1239

1271

1303

1335

1367

1399

1430

1461

1492

1523

1553

1584

1614

1644

1673

1703

1732

1761

1790

1818

1847

1875

1903

1931

1959

1987

2014

2041

2068

2095

2122

2148

2175

2201

2227

2253

2279

2304

2330

2355

2380

2405

2430

2455

2480

2504

2529

2553

2577

2601

2625

2648

2672

2695

2718

2742

2765

2788

2810

2833

2856

2878

2900

2923

2945

2967

2989

3010

3032

3054

3075

3096

3118

3139

3160

3181

3201

3222

3243

3263

3284

3304

3324

3345

3365

3385

3404

3424

3444

3464

3483

3502

3522

3541

3560

3579

3598

3617

3636

3655

3674

3692

3711

3729

3747

3766

3784

3802

3820

3838

3856

3874

3892

3909

3927

3945

3962

3979

3997

4014

4031

4048

4065

4082

4099

4116

4133

4150

4166

4183

4200

4216

4232

4249

4265

4281

4298

4314

4330

4346

4362

4378

4393

4409

4425

4440

4456

4472

4487

4502

4518

4533

4548

4564

4579

4594

4609

4624

4639

4654

4669

4683

4698

4713

4728

4742

4757

4771

4786

4800

4814

4829

4843

4857

4871

4886

4900

4914

4928

4942

4955

4969

4983

4997

5011

5024

5038

5051

5065

5079

5092

5105

5119

5132

5145

5159

5172

5185

5198

5211

5224

5237

5250

5263

5276

5289

5302

5315

5328

5340

5353

5366

5378

5391

5403

5416

5428

5441

5453

5465

5478

5490

5502

5514

5527

5539

5551

5563

5575

5587

5599

5611

5623

5635

5647

5658

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5682

5694

5705

5717

5729

5740

5752

5763

5775

5786

5798

5809

5821

5832

5843

5855

5866

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5899

5911

5922

5933

5944

5955

5966

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5988

5999

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6042

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6096

6107

6117

6128

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6149

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6170

6180

6191

6201

6212

6222

6232

6243

6253

6263

6274

6284

6294

6304

6314

6325

6335

6345

6355

6365

6375

6385

6395

6405

6415

6425

6435

6444

6454

6464

6474

6484

6493

6503

6513

6522

6532

6542

6551

6561

6571

6580

6590

6599

6609

6618

6628

6637

6646

6656

6665

6675

6684

6693

6702

6712

6721

6730

6739

6749

6758

6767

6776

6785

6794

6803

6812

6821

6830

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6848

6857

6866

6875

6884

6893

6902

6911

6920

6928

6937

6946

6955

6964

6972

6981

6990

6998

7007

7016

7024

7033

7042

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7059

7067

7076

7084

7093

7101

7110

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7126

7135

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7348

7356

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7372

7380

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7427

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7482

7490

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7536

7543

7551

7559

7566

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7582

7589

7597

7604

7612

7619

7627

7634

7642

7649

7657

7664

7672

7679

7686

7694

7701

7709

7716

7723

7731

7738

7745

7752

7760

7767

7774

7782

7789

7796

7803

7810

7818

7825

7832

7839

7846

7853

7860

7868

7875

7882

7889

7896

7903

7910

7917

7924

7931

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8000

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8116

8122

8129

8136

8142

8149

8156

8162

8169

8176

8182

8189

8195

8202

8209

8215

8222

8228

8235

8241

8248

8254

8261

8267

8274

8280

8287

8293

8299

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8312

8319

8325

8331

8338

8344

8351

8357

8363

8370

8376

8382

8388

8395

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8407

8414

8420

8426

8432

8439

8445

8451

8457

8463

8470

8476

8482

8488

8494

8500

8506

8513

8519

8525

8531

8537

8543

8549

8555

8561

8567

8573

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8585

8591

8597

8603

8609

8615

8621

8627

8633

8639

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8663

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8733

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8785

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8797

8802

8808

8814

8820

8825

8831

8837

8842

8848

8854

8859

8865

8871

8876

8882

8887

8893

8899

8904

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8915

8921

8927

8932

8938

8943

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8954

8960

8965

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8976

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9106

9112

9117

9122

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9133

9138

9143

9149

9154

9159

9165

9170

9175

9180

9186

9191

9196

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9222

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9232

9238

9243

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9279

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9489

9494

9499

9504

9509

9513

9518

9523

9528

9533

9538

9542

9547

9552

9557

9562

9566

9571

9576

9581

9586

9590

9595

9600

9605

9609

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历史对数方法是苏格兰的 Merchiston 男爵约翰·纳皮尔1614年在书《Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio》中首次公开提出的，(Joost Bürgi 独立的发现了对数；但直到 Napier 之后四年才发表)。这个方法对科学进步有所贡献，特别是对天文学，使某些繁难的计算成为可能。在计算器和计算机发明之前，它持久的用于测量、航海、和其他实用数学分支中。