和差化积

正弦、余弦的和差化积指高中数学三角函数部分的一组恒等式

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

以上四组公式可以由积化和差公式推导得到

证明过程

sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程

因为

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ，

将以上两式的左右两边分别相加，得

sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ，

设α+β=θ，α-β=φ

那么

α=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2

把α，β的值代入，即得

sinθ+sinφ=2sin(θ+φ)/2cos(θ-φ）/2

正切的和差化积tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明）

cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)

tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)

tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)

证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ

=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)

=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边

∴等式成立

注意事项在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次

口诀

正加正，正在前，余加余，余并肩

正减正，余在前，余减余，负正弦

反之亦然

生动的口诀：（和差化积）

帅+帅=帅哥

帅-帅=哥帅

咕+咕=咕咕

哥-哥=负嫂嫂

反之亦然