第五公设
第五公设同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。
第五公设又称为平行公设，可以导出下述命题：
通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。
长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。
有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。
因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。
由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？
到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，他走了另一条路子。他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设。我们知道，这其实就是数学中的反证法。
但是，在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：
第一，第五公设不能被证明。
第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。
这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称"罗氏几何"。这是第一个被提出的非欧几何学。
第五公设的等价公设在试图证明第五公设的正确性的过程中，不少数学家提出了与第五公设的等价公设，即这些公设在逻辑上与第五公设互为充要条件，因此证明这些公设也等于证明了第五公设。在这些替代公设中，最著名的有以下四个：
■普罗克洛斯公理：如果一条直线与两条平行线中的一条相交，也必定与另一条平行线相交。
■等距公设：两条平行线之间距离处处相等。
■普莱费尔公设：经过已知直线外一点，可以作一条，而且只能作一条与已知直线平行的直线。
■三角形公设：三角形三个内角和等于180度。