平行公设

平行公设，也称为欧几里得第五公设，因是《几何原本》五条公设的第五条而得名。这是欧几里得几何一条与别不同的公理，比前四条复杂。公设是说：

如果一条线段与两条直线相交，在某一侧的内角和小于两直角，那么这两条直线在不断延伸后，会在内角和小于两直角的一侧相交。

假设所有欧几里得公设成立的几何，是欧几里得几何，当中包括平行公设。平行公设不成立的称为非欧几里得几何。不依赖于平行公设的几何，也就是只假设前四条公设的，称为仿射几何。

有些欧几里得几何的性质与平行公设等价，也就是假设平行公设成立，可推导出这些性质，反之假设这些性质的一项为公理，也可以推导出平行公设。其中最重要的一项，也是最常作为公理代替平行公设的，要算是苏格兰数学家 John Playfair 提出的 Playfair 公理：

给定一条直线，通过此直线外的任何一点，有且只有一条直线与之平行。

很多人尝试用前四条公设证明平行公设都不成功，反而创造了违反平行公设的双曲几何。最后由意大利数学家贝尔特拉米(Eugenio Beltrami)证明了平行公设独立于前四条公设。

很多与平行公设等价的命题，似乎与平行线无关。有些性质更看似很明显，因而被一些声称证明了平行公设的人不经意用到了。这里是一些命题：

三角形内角和为两直角。

所有三角形的内角和都相等。

存在一对相似但不全等的三角形。

所有三角形都有外接圆。.

若四边形三个内角是直角，那么第四个内角也是直角。

存在一对等距的直线。

若两条直线都平行于第三条，那么这两条直线也平行。