平行公理

Hilbert的《几何基础》的五组公理之一：

平行公理1.欧氏几何的平行公理：过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

任何两点都是平行的，任何一点与任何一平面都是平行的。

2.罗氏几何（罗巴切夫斯基几何）的平行公理：过已知直线外一点至少存在两条直线与已知直线平行。

3.黎曼几何的平行公理：过已知直线外一点没有一条直线与已知直线平行。

4.同位角相等，两直线平行。

平行公理的推论如果a‖b,a‖c,那么b‖c

证明:假使b、c不平行

则b、c交于一点O

又因为a‖b,a‖c

所以过O有b、c两条直线平行于a

这就与平行公理矛盾

所以假使不成立

所以b‖c

由同位角相等，两直线平行，可推出：

内错角相等，两直线平行。

同旁内角互补，两直线平行。

因为 a‖b,a‖c,

所以 b‖c （平行公理）