吸引子
系统的吸引子理论是关于吸引子的科学理论，它是混沌学的重要组成部分。那么什么是吸引子呢
？吸引子是一个数学概念，描写运动的收敛类型，它存在于相平面。简言之，吸引子是指这样的一个
集合，当时间趋于无穷大时，在任何一个有界集上出发的非定常流的所有轨道都趋于它.这样的集合
有很复杂的几何结构.由于吸引子与混沌现象密不可分，深入了解吸引子集合的性质，对更好了解它
们所描述的流，对揭示出现混沌的规律与结构是很必要的。
从相空间上看，系统演化的目的体现为一定的点集合，代表演化过程的终极状态，即目的态，具
有如下特征：(1)终极性，处于非目的态的系统“不安于现状”，力求离之远去，处于目的态的系统
则“安于现状”，自身不再愿意或无力改变这种状态（也可以叫做惰性）。 (2)稳定性，目的态是系
统自身质的规定性的体现，这种规定性只有在稳定状态中才能确立起来并得到保持，不稳定状态不可
能成为目的态； (3)吸引性，吸引性是目的性的根本要素，没有吸引力的状态不能成为系统演化所追
求的目标。只要系统尚未到达目的态，现实状态与目的态之间必定存在非0的吸引力，牵引着系统向
目的态运动。相空间中满足以上3个条件的点集合A(可能包含1个点、有限个点或无限个点)，被称为
动力学系统的吸引子。吸引子只能是定态，而且必须是稳定态。
其实，我们早已经接触过吸引子了。在动力学里，就平面内的结构稳定系统——典型系统——而
言，吸引子不外是：1.单个点2.稳定极限环。也可解释为：长期运动不外是：1.静止在定态2.周期性
地重复某种运动系列。在非混沌体系中，这两种情况都是“一般吸引子”，而在混沌体系中，第二种
情况则被称为：“奇怪吸引子”，它本身是相对稳定的，收敛的，但不是静止的。奇怪吸引子是稳定
的、具分形结构的吸引子。
保守系统由于相体积永远不变，所以不存在吸引子，而耗散系统则不然，相体积在演化过程中不
断收缩，各种各样的运动在演化中逐渐衰亡，最后只剩下少数自由度决定的长时间行为，即：耗散系
统的运动最终趋向维数比原始相空间低的极限集合，这个极限集合就是吸引子。
一个系统可能没有吸引子，也可能同时存在多个吸引子。不同吸引子可能属于同一类型，也可能
属于不同类型。原则上讲，几类吸引子的各种组合都可能出现。例如，同时存在几个结点，或同时存
在不动点和极限环，或同时存在不动点、极限环、奇怪吸引子，或同时有几个奇怪吸引子，等等。一
般地，系统越复杂，吸引子 (如果存在的话)结构就越复杂.那么，如何刻画或度量吸引子的复杂性，
这是研究吸引子的重要内容。凡存在吸引子的系统，均为有目的的系统。从暂态向渐近稳定定态的运
动过程，就是系统寻找目的的过程。所谓目的，就是在给定的环境中，系统只有在目的点或目的环上
才是稳定的，离开了就不稳定，系统自己要拖到点或环上才能罢休。
一般来说，非线性系统可能具有0,1,2...等各种维数的平庸吸引子。高维吸引子最可能有准周期
运动，而不是周期振动。然而自吕勒(Ruelle)和塔根斯(Takens)的工作以来，人们越来越清楚地看到
，一般说来准周期轨道成为吸引子的可能性不大，更可能出现的是所谓奇怪吸引子。
奇怪吸引子是耗散系统混沌现象的另一个重要的特征。简单地说奇怪吸引子就是相空间（对连续
的动力学系统，至少是三维；对离散的动力学系统，至少是二维）的一个有限的区域内，由无穷多个
不稳定点集组成的一个集合体。奇怪吸引子有两个最重要的特征： （1） 对初始条件有敏感的依赖
性。 在初始时刻从这个奇怪吸引子上任何两个非常接近的点出发的两条运动轨道，最终必会以指数
的形式互相分离。由于混沌对初值极为敏感，它表现为局部不稳定。但对耗散系统而言，则又具有相
体积收缩的特性，因而造成轨道无穷多次折迭往返。混沌轨道在相空间中"添满"有限的区域，形成奇
怪吸引子。实际上，它有内外两种趋向，一切吸引子之外的运动都向它靠拢，这是稳定的方向；而一
切到达吸引子内的轨道都又相互排斥（指数式分离），对应为不稳定方向。正是这种整体趋向稳定而
局部又极为不稳定的矛盾，导致了奇怪吸引子的另一个更奇怪的性质： （2） 它具有非常奇特的拓
扑结构和几何形式。 奇怪吸引子是具有无穷多层次自相似结构的、几何维数为非整数的一个集合体
。为了描述奇怪吸引子的这种奇特结构，Mandelbrot率先引进了分形（既其维数是非整数的对象）的
概念。
作为相空间点集合的吸引子，其维数必定低于空间的维数。低维性是吸引子的重要特征之一，因
为系统寻找目的态的过程必定是降维的过程。
当相空间同时存在几个吸引子时，整个相空间将以它们为中心划分为几个区域，每个区域内的轨
道都以该吸引子为归宿，称为该吸引子的吸引域或流域。吸引子理论认为,复杂系统在状态空间中的
行为轨线是由动力方程来表示的。它的动力学方程一般地是由一组“吸引子”所决定的。系统向哪个
吸引子演化，取决于初态落在那个吸引域里，系统最终达到哪个吸引子是不确定的，一些微小的涨落
都会导致系统走向某个吸引子而不走向另一个吸引子.
吸引子是刻划系统整体特性的概念，具有不可分割性，即不能把它划分为两个都满足定义要求的
较小集合。也不能把几个吸引子组合为一个吸引子，如平衡态A与周期态B不能合成一个单一的吸引子
。
在动态系统理论中，排斥子又称为源，吸引子又称为汇。一切有实际意义的轨道总是从源流向汇
。 处于不稳定定态的系统也“安于现状”，自身没有改变现状的动力。但它们对附近的轨道没有吸
引力，反而有排斥力。一旦扰动使系统离开这种定态，排斥力将使任何轨道远离该定态而去。由此缘
故，不稳定的结点、焦点、极限环、环面被称为排斥子。研究排斥子也是吸引子理论的重要内容。