Milnor数

我们这里专指曲线的 Milnor 数，一般情形可类似讨论。

假设C是闭域k 上的一条曲线，在奇点p附近由

局部方程: f(x,y)=0 定义。

设f_x (相应的，f_y) 表示f(x,y)的关于x（相应的，y）的偏导数。

Milnor 数 μ_p=dim_k k[x,y]/(f_x,f_y).

这里k[x,y]是系数取自域k的多项式全体构成的环， （f_x,f_y）是由f_x和f_y生成的理想，k[x,y]/(f_x,f_y) 是相应的商环. μ_p就是这个环作为k-向量空间的维数。

当k是复数域时，代数曲线C的Milnor数 可以用奇点的

几何亏格--记为δ_p, 以及在奇点处的局部分支数--记为k_p 表示。 这就是著名的Milnor公式：

μ_p=2δ_p-k_p+1.