纤维斜率

以曲面纤维化为例。

设f:S→C是曲面S的纤维化。 S有三个相对不变量：K_f^2,χ_f,e_f.

这三个不变量都是非负整数，满足Noether（X.诺特）公式：

12χ_f=K_f^2+e_f.

λ_f=K_f^2/χ_f称为纤维化f的斜率（要求χ_f≠0）。

由诺特公式易知0<λ_f≦12. 如果λ_f＝12，就称f为小平邦彦纤维化。

当纤维亏格g>1时，肖刚证明了λ_f≥(4-4/g).

求斜率上界是个很有意思的问题。 在超椭圆纤维化情形，肖刚，Horikawa等求出了斜率上界。 高亏格情形则比较困难。 此外，是否存在这样的曲面纤维化，恰好达到斜率上界？这仍然是个公开问题。

给定斜率，是否有相应的曲面纤维化存在？ 这个问题和曲面地理学问题是类似的。