三角形
什么是三角形？由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的封闭图形叫做三角形。
平面上三条直线或球面上三条弧线所围成的图形。
三条直线所围成的图形叫平面三角形；三条弧线所围成的图形叫球面三角形，也叫三边形。
一个封闭图形的内角和为180度叫做三角形。
例题：已知有一△ABC，求证∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°
证明：做BC的延长线至点D,过点C作AB的平行线至点E
∵AB∥CE（已知）
∴∠ABC=∠ECD(两直线平行,同位角相等),∠BAC=∠ACE(两直线平行，内错角相等)
∵∠BCD=180°
∴∠ACB+∠ACE+∠ECD=∠BCD=180°（等式的性质）
∴∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°（等量代换）
三角形的内角和
三角形的内角和为180度
证明：根据三角形的外角和等于内角可以证明，详细参见《优因培：走进三角形》
三角形分类(1)按角度分
a.锐角三角形：三个角都小于90度 。并不是有一个锐角的三角形，而是三个角都为锐角，比如等边三角形也是锐角三角形。
b.直角三角形（简称Rt 三角形）：
⑴直角三角形两个锐角互余；
⑵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
⑶在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.；
⑷在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°（和⑶相反）；
c.钝角三角形：有一个角大于90度(锐角三角形，钝角三角形统称斜三角形)。
d.证明全等时可用HL方法
解直角三角形在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c. 则有
（1）正弦定理
a/SinA=b/SinB= c/SinC=2r (外接圆半径为r)
（2）余弦定理。
a^2=b^2+c^2-2bc*CosA
b^2=a^2+c^2-2ac*CosB
c^2=a^2+b^2-2ab*CosC
三角形的性质1.三角形的任何两边的和一定大于第三边 ，由此亦可证明得三角形的任意两边的差一定小于第三边。
2.三角形内角和等于180度
3.等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合一。
4.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方--勾股定理。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
５.三角形共有六心：
内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。
性质：到三边距离相等。
外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。
性质：到三个顶点距离相等。
重心：三条中线的交点。
性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。
垂心：三条高所在直线的交点。
性质：此点分每条高线的两部分乘积
旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点
性质：到三边的距离相等。
界心：经过三角形一顶点的把三角形周长分成1：1的直线与三角形一边的交点。
性质：三角形共有3个界心，三个界心分别与其对应的三角形顶点相连而成的三条直线交于一点。
欧拉线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。
6.三角形的外角（三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）等于与其不相邻的内角之和。
7.一个三角形最少有2个锐角。
8.三角形的角平分线:三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段。
9.等腰三角形中，等腰三角形顶角的平分线平分底边并垂直于底边。
10.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有下面关系那么a²+b²=c²
那么这个三角形就一定是直角三角形。
11.三角形的外角和是360°。
12.等底等高的三角形面积相等。
13.底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积之比等于其底之比。
14.三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的3/4。
15.在△ABC中恒满足tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC。
三角形为什么具有稳定性
任取三角形两条边，则两条边的非公共端点被第三条边连接
∵第三条边不可伸缩或弯折
∴两端点距离固定
∴这两条边的夹角固定
∵这两条边是任取的
∴三角形三个角都固定，进而将三角形固定
∴三角形有稳定性
任取n边形(n≥4)两条相邻边，则两条边的非公共端点被不止一条边连接
∴两端点距离不固定
∴这两边夹角不固定
∴n边形(n≥4)每个角都不固定，所以n边形(n≥4)没有稳定性
三角形的边角之间的关系（1）三角形三内角和等于180°（在球面上，三角形内角之和大于180°）；
（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；
（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；
（4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
（5）在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边.
（6）三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线.
（7）三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等.
（8）三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等.
（9）三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍。
（10）三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。
（11）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的1/2。
（12）三角形的一边与另一边延长线的夹角叫做三角形的外角。
注意: ①三角形的内心、重心都在三角形的内部
. ②钝角三角形垂心、外心在三角形外部。
③直角三角形垂心、外心在三角形的边上。（直角三角形的垂心为直角顶点，外心为斜边中点。）
④锐角三角形垂心、外心在三角形内部。
特殊三角形1.相似三角形
（1）形状相同但大小不同的两个三角形叫做相似三角形
（2）相似三角形性质
相似三角形对应边成比例，对应角相等
相似三角形对应边的比叫做相似比
相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方
相似三角形对应线段（角平分线、中线、高）之比等于相似比
若a、b、b、c成比例，即a:b=b:c，则称b是a和c的比例中项
（3）相似三角形的判定
【1】三边对应成比例则这两个三角形相似
【2】两边对应成比例及其夹角相等，则两三角形相似
【3】两角对应相等则两三角形相似
2.全等三角形
图案设计
1、图案的设计：应用全等图形的知识，对基本图形适当进行分割、拼接，设计出美丽的图案
2、图案设计的基本步骤：
（四）、全等三角形
（1）能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
（2）全等三角形的性质。
全等三角形对应角（边）相等。
全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高）相等、周长相等、面积相等。
（3）全等三角形的判定
① SAS ②ASA ③AAS ④SSS ⑤HL (RT三角形)】
寻找全等三角形的对应角、对应边常用方法：
3.等腰三角形
等腰三角形的性质：
（1）两底角相等；
(2) 两条腰相等 ；
（3）顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合；
等腰三角形的判定：
（1）等角对等边；
（2）两底角相等；
4.等边三角形
等边三角形的性质：
（1）顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合；
（2）等边三角形的各角都相等，并且都等于60°。
等边三角形的判定：
（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
三角形的面积公式(1)S△=1/2*ah（a是三角形的底，h是底所对应的高）
(2)S△=1/2*ac*sinB＝1/2*bc*sinA＝1/2*ab*sinC（三个角为∠A∠B∠C，对边分别为a,b,c，参见三角函数）
(3)S△=√［s*（s-a）*（s-b）*（s-c）］ 【s=1/2(a+b+c)】（海伦—秦九韶公式）
(4)S△=abc/（4R）【R是外接圆半径】
(5)S△=1/2*(a+b+c)*r 【r是内切圆半径】
(6)........... | a b 1 |
S△=1/2 * | c d 1 |
................| e f 1 |
【.| a b 1 |
....| c d 1 | 为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里ABC
....| e f 1 |
选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值，如果不按这个规则取，可能会得到负值，但不要紧，只要取绝对值就可以了，不会影响三角形面积的大小！】
生活中的三角形物品
雨伞、帽子、彩旗、灯罩、风帆、小亭子、雪山、楼顶、切成三角形的西瓜、火炬冰淇淋、热带鱼的边缘线、蝴蝶翅膀、火箭、竹笋、宝塔、金字塔、三角内裤、机器上用的三角铁、某些路标、长江三角洲、斜拉桥等。
三角形全等的条件注意:只有三个角相等无法推出两个三角形全等，也不可以用“SSA”
（1）三边对应相等的两个三角形相等，简写为“SSS”。
（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“ASA”。
（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“AAS”。
（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“SAS”。
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“HL”。
全等三角形的性质
全等三角形的对应角相等，对应边也相等，并且全等三角形能重合。
三角形中的线段中线：顶点与对边中点的连线，平分三角形。
高：从三角形的一个顶点（三角形任意两条边的交点）向其对边所作的垂线段（顶点至对边垂足间的线段），叫做三角形的高。
角平分线：顶点到两边距离相等的点所构成的直线。
中位线：任意两边中点的连线。
[1]
三角形相关定理重心定理
三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．
上述交点叫做三角形的重心.
外心定理
三角形的三边的垂直平分线交于一点．
这点叫做三角形的外心.
垂心定理
三角形的三条高交于一点．
这点叫做三角形的垂心.
内心定理
三角形的三内角平分线交于一点．
这点叫做三角形的内心.
旁心定理
三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点．
这点叫做三角形的旁心．三角形有三个旁心．
三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心．
它们都是三角形的重要相关点．
中位线定理
三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
三边关系定理
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
勾股定理
在Rt三角形ABC中，A≤90度，则
AB·AB+AC·AC=BC·BC
梅涅劳斯定理
梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。
证明：
过点A作AG∥BC交DF的延长线于G,
则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。
三式相乘得：AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1
它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。
塞瓦定理
设O是△ABC内任意一点，
AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
证法简介
（Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明：
∵△ADC被直线BOE所截，
∴ CB/BD*DO/OA*AE/EC=1 ①
而由△ABD被直线COF所截，∴ BC/CD*DO/OA*AF/BF=1②
②÷①:即得：BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
（Ⅱ）也可以利用面积关系证明
∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③
同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤
③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:
设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，
根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/
[(AE*ctgB)]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。
莫利定理
将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。