抽象群

抽象群的一般概念设非空集合G和运算·满足下列四个条件：

（1）G上有一个二元运算。〔即对任意a、b∈G，有a•b∈G〕

（2）G中有单位元I。〔即对任意a∈G，有I•a＝a•I＝a〕

（3）G中的每个元素都有逆元。〔即对任意a∈G，存在a′ ∈G，有a•a′＝a′•a＝I〕

（4）G的乘法满足结合律。

那么(G，•)叫做一个群。

例题例题：设非空集合Z3表示这个数除以3后的余数，a◎b表示a+b除以3的余数，证明(Z3，◎)是一个群。

解：只要满足I～IV这4个条件即可。

Z3中只有3个元素：0，1，2

先列出乘法表：

◎ 0 1 2

0 0 1 2

1 1 2 0

2 2 0 1

I：根据乘法表可以看出◎是一个二元运算。

II：根据乘法表得出0是运算◎的单位元。

III：根据乘法表得出0的逆元是0，1的逆元是2，2的逆元是1。

IV：容易证明(a◎b)◎c=a◎(b◎c)

所以(Z3，◎)是一个群

练习设非空集合K3表示这个数除以3后的小数部分的第一位，a◎b表示a+b除以3后的小数部分的第一位，证明(K3，◎)是一个群。