婆罗摩笈多定理

定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边

证明：

（以下为向量式）

设BF=xAF 则EF=（EB+xEA）/(1+x) （定比分点向量公式）

又EF*BC=EF*(DE+EC)=0

所以（EB+xEA)(DE+EC)=0

拆开 EB*DE+EB*EC+xEA*DE+xEA*EC=0

由垂直 所以只有 EB*DE+xEA*EC=0

由相交线定理 所以x=1（EA*EC=EB*ED)（这是代数式，上式为向量式，故成立）

另一版本（我看到的，上面那个是王朝的，证明花了我点时间）

若圆内接四边形的对角线相互垂直，交点与一对边的中点连线垂直于另一边

证明：（向量式）

EF=1/2(EA+EB)

DC=DE+EC

EF*DC=0（去掉垂直的）

此定理在39届IMO证明题，还有78年银川数学竞赛试题

说点自己看法

1.此定理是很冷门的（被考即是因为冷门），最好题前引例证明

2.向量法证明是很方便的方法，特别是另一版本的证明，自己想出来的，比我看的任何证明过程都简单很多

3.想要抓住联赛的几何题，类似的冷门定理要多掌握