周期解理论
周期解理论[1]的定义：周期解理论是关于天体运动周期轨道的存在性和稳定性的理论。对于天体力学中不能直接求解的运动方程﹐除了用级数作为近似解外﹐庞加莱在十九世纪末开辟了一条新的途径──寻找运动方程的周期解。这种解的特点是﹕经过一定的时间(周期)后﹐天体的坐标和速度都严格地回复到原来的数值。周期解理论是天体力学中最活跃的研究领域之一。对于维数不高的动力学体系(如平面圆型限制性三体问题)来说﹐周期解是决定相空间(坐标和速度分量组成的空间)的“枢纽”轨道﹔周期獾拇嬖谕舱裼忻芮辛?见共振理论)﹔某些简单的周期解可以作为中间轨道﹐并以此为基础讨论摄动﹔人造天体出现以后﹐需要设计能够周期性地接近地球和其他天体的轨道﹐这就给周期解的研究工作带来新动力。目前研究周期解有三种基本方法。
定性方法应用拓扑学方法证明某些类型周期解的存在性。这种方法最初是庞加莱提出的﹐后由伯克霍夫﹑阿尔诺德等人加以发展和充实﹐成为天体力学定性理论中的一个重要内容。对于大周期的解的存在性问题﹐目前还只能用定性方法进行研究。此外﹐在给定周期解领域内的周期解存在性问题﹐各种周期解的稳定性问题﹐都是用定性方法来研究的。
分析方法最初也是庞加莱提出的。他首先研究含有小参数μ的运动方程。当μ =0时﹐方程有周期解。然后根据周期性条件找出 μ ≠0时的周期解。这样的周期解可用μ的幂级数表示﹐并用逐次积分求出其系数。对于三体问题﹐他提出了三类周期解﹐这成为周期解的理论基础。这些解称为庞加莱周期解。拉格朗日特解也是一种特殊的周期解。近二十年来﹐对拉格朗日特解附近的周期解存在性和稳定性研究得较多(见脱罗央群小行星的运动)。希尔在研究月球运动时所采用的中间轨道﹐也是周期轨道﹐称为希尔周期轨道。二十世纪以来﹐在研究希尔周期轨道的收敛范围以及用新方法建立这种轨道方面﹐取得了很多成果。例如美国康利等人用正规化变换(见变换理论)求平动点附近的周期解。
用分析方法讨论周期解有两个重要缺点﹕一是在周期上有限制﹐对周期很大的解还只能用定性方法研究﹔一是推导过程太繁﹐无法推导出一般项和高阶项。近年来﹐分析方法常用数值方法来补充﹐并且藉助于电子计算机进行公式推导。
数值方法自五十年代电子计算机广泛应用于天体力学研究之后﹐出现了用数值方法研究周期解的高潮﹐建立了大量各种类型的周期轨道。其中绝大部分是针对平面(圆型或椭圆型)限制性三体问题的﹐只有很少是针对空间限制性问题或一般三体问题的。一般方法是寻找某一周期解族的具体周期轨道。具体办法是先选取周期解的近似初值﹐然后用泰勒级数的斯特芬森方法计算出最后的周期轨道。这样所得的精度比差分法要高。算得最多的仍然是平动点附近的周期解。六十年代以后﹐出现了很多用数值方法研究周期轨道稳定性的研究成果﹐主要是算出标志周期轨道的某些参数的具体值﹐从而判定周期解的稳定性和稳定范围。
同分析方法一样﹐数值方法也存在以下几点的缺点：一方面是在周期上有限制﹐一般只能研究周期较短的解。另外﹐利用数值方法进行研究只能得到某些具体周期轨道﹐很难看出它们的一般特徵(见天体力学数值方法)。因此﹐周期解理论还需要用几种方法配合来研究﹐才有可能得到有效的结果。但是至今还没有形成较完整的具体研究方法