天体力学数值方法
天体力学数值方法：应用常微分方程数值理论来求解天体运动方程的方法。它与分析方法﹑定性方法并列为天体力学的三个基本方法。天体力学数值方法常称为特殊摄动方法。
概述传统的分析方法用在研究彗星的运动和小行星的运动上会遇到困难。这些小天体的轨道偏心率和倾角往往比较大﹐以致不能按传统方法把它们当作小参数来进行级数展开(见摄动理论)。冥王星轨道的大偏心率也给研究冥王星的运动带来困难。因此﹐需要用数值方法来求解。人造卫星上天后﹐数值方法几乎成为设计和精确决定人造天体轨道的主要手段。近年来﹐这种方法还被用来研究小恒星系的运动和多体问题等课题。数值方法与分析方法相比﹐优点是应用范围广﹐计算公式简单﹐可以达到很高的精度﹔缺点是计算的步长不能取得很大﹐需要花费大量计算时间﹐只有在应用电子计算机的条件下才能得到广泛运用。显然﹐步长愈小﹐花费的计算时间愈多。 天体力学数值方法最早可追溯到高斯的工作方法。十九世纪末形成的科威耳方法和亚当斯方法，至今仍为天体力学的基本数值方法，但在电子计算机出现以前，应用不广。
常用的数值方法[1]二十世纪初科威耳和克洛梅林在研究哈雷彗星的运动时﹐成功地采用了数值方法。他们所用的方法被称为科威耳方法。科威耳等用天体的直角坐标为变量﹐考虑天体在其他天体的引力作用下的运动﹐列出了运动方程﹕d /dt =f (t ﹐ )﹐它是二阶微分方程组而不是一阶的﹔它右边的函数f 不包含速度d /dt 。科威耳方法是求多体问题数值解的主要方法。五十年代布劳威尔﹑克莱门斯和埃克特用科威耳方法在电子计算机上建立了木星﹑土星﹑天王星﹑海王星﹑冥王星 5颗外行星的数值历表﹐显示了数值方法的潜力。
短周期彗星的坐标变化较快﹐步长不能取得大﹐需要花费大量计算时间。恩克提出以天体直角坐标的摄动量为变量。这种变量变化缓慢﹐步长可以取得很大﹐但计算过程要比科威耳法繁复得多。以摄动量为变量的方法叫恩克方法﹐常用于计算短周期彗星和月球火箭的轨道。
人造卫星轨道研究中经常用轨道要素为变量﹐这是一阶常微分方程组﹐不具有多体问题运动方程的特点﹐对这类问题进行数值积分时﹐可以应用常微分方程数值理论中通用的亚当斯方法或龙格-库塔方法。
数值方法的质量标准 评价数值方法好坏的重要标准是它的误差﹑稳定性和计算工作量。误差愈小﹐稳定性愈强﹐计算工作量愈小﹐则方法愈好。用数值方法进行计算时产生的误差可分为两类﹕截断误差和舍入误差。截断误差来自按数值方法算得的结果和原微分方程的解之间的差别﹐截断误差愈小﹐表明这种方法的精度愈高。舍入误差来自计算过程中数字的舍入。两种误差在逐步计算过程中一般都会累积扩大﹐累积的规律是复杂的﹐至今尚未完全弄清楚。布劳威尔探讨了用科威耳方法计算天体的直角坐标时舍入误差的累积﹐得出的结论是舍入误差大约以计算步数的3/2次幂的规律累积。
判断数值方法的稳定性在于﹕计算的某一步中产生的误差在以后的逐步计算过程中以怎样的方式传递下去﹐在传递过程中是始终保持有界而有所增长﹐还是急剧增长以致淹没了结果的有效数字。稳定性和步长有关﹐步长愈大﹐稳定性愈差。高精度的方法往往因稳定性太弱而不能使用。
计算工作量决定于步长的大小和每步的计算时间。用电子计算机计算时﹐后者主要取决于每步计算微分方程右边函数的次数。
要选择一种兼有精度高﹑稳定性强﹑计算工作量小这三种优点的数值方法是很困难的。按这些标准对传统的各种数值方法进行评价和计算表明﹐精度要求高或积分时间长的天体力学工作应当使用科威耳方法或亚当斯方法以节约计算时间﹐而龙格-库塔方法只能作为辅助手段。对于精度要求低﹑积分时间短的工作﹐则上述方法均能使用。
新的数值方法 近年来﹐针对天体力学的一些特殊问题提出了一些新的数值方法和新的研究课题﹐例如﹐传统的泰勒级数法虽然对一般微分方程是很难使用的﹐但用于多体问题﹑限制性三体问题却获得成功﹔有一种数值方法是针对天体运动微分方程的解的﹐这就是自变量的三角级数或是三角级数与幂级数相混合建立起来的数值方法﹔还有一种叫作稳定化技术﹐研究这种技术的目的是改变天休运动微分方程的形式以加强其稳定性。
人造卫星的运行远比自然天体快﹐需要进行几十圈﹑上百圈的数值积分。恒星集团构成的多体问题涉及成百上千的质点。这都给天体力学数值方法提出了新的要求和课题。
参考书目
P﹒Henrici﹐ Discrete Variable Methods in Ordinary Differential Equations﹐John Wiley and Sons﹐New York﹐1962.
E.L.Stiefel and G.Scheifele﹐Linear and Regular Celestial Mechanics﹐Springer－Verlag﹐Berlin﹐1971.