筛法

筛法

筛法，是求不超过自然数N（N＞1）的所有质数的一种方法。据说是古希腊的埃拉托斯特尼（Eratosthenes，约公元前274～194年）发明的，又称埃拉托斯特尼筛子。

具体做法是：先把N个自然数按次序排列起来。1不是质数，也不是合数，要划去。第二个数2是质数留下来，而把2后面所有能被2整除的数都划去。2后面第一个没划去的数是3，把3留下，再把3后面所有能被3整除的数都划去。3后面第一个没划去的数是5，把5留下，再把5后面所有能被5整除的数都划去。这样一直做下去，就会把不超过N的全部合数都筛掉，留下的就是不超过N的全部质数。因为希腊人是把数写在涂腊的板上，每要划去一个数，就在上面记以小点，寻求质数的工作完毕后，这许多小点就像一个筛子，所以就把埃拉托斯特尼的方法叫做“埃拉托斯特尼筛”，简称“筛法”。（另一种解释是当时的数写在纸草上，每要划去一个数，就把这个数挖去，寻求质数的工作完毕后，这许多小洞就像一个筛子。）

例如，用筛法找出不超过30的一切质数：

不超过30的质数2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个。

使用Pascal语言，利用筛法求素数的代码：

ReadLn(n);｛需要求2~n之间所有的素数｝

For j:=2 To n Do a[j]:= True;｛全部清成真，表示目前是素数｝

For j:=2 To n Do

If a[j] Then｛当该数纪录是质数时开始筛选｝

For i:=2 To n Div j Do a[j*i] := False;｛筛掉所有质数的倍数｝

sum := 0;｛统计范围内有多少个质数｝

For j:=2 To n Do

If a[j] Then Begin｛如果是质数就输出｝

Write(j, ' ');

Inc(sum);

End;

WriteLn（sum）;｛输出总数｝

使用C++语言，利用筛法求素数的核心代码：

long i,j;

bool prime[MAXN];

memset(prime,1,sizeof(prime));

prime[1]=0;

for(i=2;i<MAXN;i++)

if(prime)

for(j=2;j<=MAXN/i;j++)

prime[j*i]=0;

筛法的改进——线性时间筛法

for (i=2;i<=n;i++)

{

if (a[i]==0)

{

num++;p[num]=i;

}

for (j=1;((j<=num) && (i*p[j]<=n)); j++)

{

a[i*p[j]] = 1 ;

if (i%p[j] == 0) break;

}

}