乘法公式
1. 乘法公式也叫做简乘公式,就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结,直接
应用.公式中的每一个字母，一般可以表示数字，单项式，多项式，有的还可以推广到分式，
根式。
公式的应用不仅可从左到右的顺用(乘法展开),还可以由右向左逆用(因式分解).
要记住一些重要的公式变形及其逆运算——除法等。
2. 基本公式就是最常用,最基础的公式,可以由此而推导出其它公式.
完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2，
平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2，
立方和(差)公式:(a±b)(a2mab+b2)=a3±b3。
3. 公式的推广：
①多项式平方公式:(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd。
即：多项式的平方等于各项的平方和，加上每两项积的2倍。
②二项式定理:(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3，
(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4，
(a±b)5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3+5ab4±b5，
…………
注意观察右边展开式的项数，指数，系数，符号的规律。
③由平方差,立方和(差)公式引申的公式
(a+b)(a3-a2b+ab2-b3)=a4-b4，
(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=a5+b5，
(a+b)(a5-a4b+a3b2-a2b3+ab4-b5)=a6-b6，
…………
注意观察左边第二个因式的项数，指数，系数，符号的规律。
在正整数指数的条件下,可归纳如下：设n为正整数
⑴(a+b)(a2n-1-a2n-2b+a2n-3b2-…+ab2n-2-b2n-1)=a2n-b2n，
⑵(a+b)(a2n-a2n-1b+a2n-2b2-…-ab2n-1+b2n)=a2n+1+b2n+1，
类似地：
⑶(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)=an-bn。
4. 公式的变形及其逆运算
由(a+b)2=a2+2ab+b2 得 a2+b2=(a+b)2-2ab；(a-b)2=(a+b)2-4ab。
由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b)得 a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)。
由公式的推广可知：当n为正整数时，an-bn能被a-b整除；
a2n+1+b2n+1能被a+b整除； a2n-b2n能被a+b及a-b整除。
乙 例题
例1.己知:x+y=a, xy=b 。
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求:①x2+y2 ; ②x3+y3 ; ③x4+y4; ④x5+y5.
解:①x2+y2=(x+y)2-2xy=a2-2b;
②x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)=a3-3ab;
③x4+y4=(x+y)4-4xy(x2+y2)-6x2y2=a4-4a2b+2b2;
④x5+y5=(x+y)(x4-x3y+x2y2-xy3+y4)
=(x+y)[x4+y4-xy(x2+y2)+x2y2]
=a[a4-4a2b+2b2-b(a2-2b)+b2]
=a5-5a3b+5ab2.
例2.求证:四个连续整数的积加上1的和,一定是整数的平方.
证明:设这四个数分别为a, a+1, a+2, a+3. (a为整数)
a(a+1)(a+2)(a+3)+1=a(a+3)(a+1)(a+2)+1
=(a2+3a)(a2+3a+2)+1
=(a2+3a)2+2(a2+3a)+1
=(a2+3a+1)2。
∵a是整数,整数的和,差,积,幂也是整数。 ∴a2+3a+1是整数。
例3.求证:2222+3111能被7整除。证明:2222+3111=( 22)111+3111=4111+3111。
∵a2n+1+b2n+1能被a+b整除,(见内容提要4)
∴4111+3111能被 4+3整除。
∴2222+3111能被7整除。
(扩展) 快速判断一个整数是否可以整除另一个整数
如x=2368，则x1=8，x2=6，x3=3，x4=2
则有如下公式：
x%m=( x1 +101%m*x2+102%m*x3+……+10n-1%m*xn)%m
其中%表示求余数的符号
公式证明
依据余数的两个定理
(m+n)%k=(m%k+n%k)%k（结合率）
(m*n)%k=((m%k)*n)%k （交换率）
则 x%m
= (x1 + x2*10 + x3*102 +xn*10n-1)%m
= (x1%m+ x2*10%m+ x3*102%m +xn*10n-1%m)%m
= (x1%m+ (10%m*x2)%m + (102%m*x3)%m +(10n-1%m*xn)%m)%m
= (x1 + 10%m*x2+ 102%m*x3 +10n-1%m*xn)%m
所以公式得证
例4.用完全平方公式推导“个位数字为5的两位数的平方数”的计算规律。
解:∵(10a+5)2=100a2+2×10a×5+25=100a(a+1)+25。
∴“个位数字为5的两位数的平方数”的特点是：
幂的末两位数字是底数的个位数字5的平方,幂的百位以上的数字是底数的十位上数
字a乘以(a+1)的积。
例如:152=225, 幂的百位上的数字2=1×2；
252=625, 6=2×3；
352=1225, 12=3×4；
……
1052=11025, 110=10×11。