施瓦茨—皮克定理

施瓦茨引理有一个版本是在单位圆盘的解析自同构（即单位圆盘的全纯双射）下不变。这称为施瓦茨—皮克定理。

设<math>f:DeltaoDelta</math> 全纯。那么，对所有<math>z_1,z_2in Delta</math>，

<math>left|frac{f(z_1)-f(z_2)}{1-overline{f(z_1)}f(z_2)}

ight|

le frac{left|z_1-z_2

ight|}{left|1-overline{z_1}z_2

ight|}</math>，

还有，对<math>zinDelta</math>，

<math>frac{left|f'(z)

ight|}{1-left|f(z)

ight|^2} le

frac{1}{1-left|z

ight|^2}. </math>。

以下表达式

<math> d(z_1,z_2)=anh^{-1}left(frac{left|z_1-z_2

ight|}{left|1-overline{z_1}z_2

ight|}

ight) </math>

是庞加莱度量中两点<math> z_1,z_2 </math>的距离。庞加莱度量就是二维双曲几何的庞加莱圆盘模型的度量。这定理的要点是把单位圆盘映射到自己的全纯函数减少各点间的庞加莱度量下的距离。若上两不等式有一式的等号成立，就是说全纯映射保持庞加莱度量下的距离，那么f一定是单位圆盘的解析自同构，由把圆盘映射到自己的麦比乌斯转换映射所给出。

一个对上半平面<math>mathbb{H}</math>的相似的命题可记如下：

设<math>f:mathbb{H}omathbb{H}</math>全纯。那么，对所有<math>z_1,z_2in mathbb{H}</math>，

<math>left|frac{f(z_1)-f(z_2)}{overline{f(z_1)}-f(z_2)}

ight|

le frac{left|z_1-z_2

ight|}{left|overline{z_1}-z_2

ight|}</math>，

还有，对所有<math>zinmathbb{H}</math>

<math>frac{left|f'(z)

ight|}{mbox{Im }f(z)} le

frac{1}{mbox{Im }(z)}. </math>。

若集中一式等号成立，那么f必是实系数的麦比乌斯转换，也就是说若等号成立则有

<math>f(z)=frac{az+b}{cz+d}</math>，

其中<math>a,b,c,d</math>是实数，及<math>ad-bc>0</math>。