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直线系

王朝百科·作者佚名  2010-02-24  
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概念:一般的,具有某种共同属性的一类直线的集合,称为直线系。它的方程称直线系方程,直线系方程中除含变量x 、y以外,还有可以根据具体条件取不同值的变量,称为参变量,简称参数。几种常见的直线系方程:

(1)过已知点P(x0,y0)的直线系方程y-y0=k(x-x0)(k为参数)

(2)斜率为k的直线系方程y=kx+b(b是参数)

(3)与已知直线Ax+By+C=0平行的直线系方程Ax+By+λ=0(λ为参数)

(4)与已知直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程Bx-Ay+λ=0(λ为参数)

(5)过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程:

A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ为参数)

具有某一共同性质的直线的集合叫做直线系,它的方程叫做直线系方程。

确定平面上一条直线,需要两个独立且相容的几何条件,如果只给定一个条件,直线的位置不能完全确定。另一方面,如果只给定一个几何条件时,二元一次方程的两个独立的系数中,只有一个被确定,那个未被确定的系数是参数。

利用直线系方程求直线,可以简化计算过程,欲求适合某两个几何条件的直线的方程,可先用其中一个条件写出直线系方程,再用另一个条件来确定参数值。

常见的直线系的名称、条件、图形、方程如下表:

常见的直线系方程和它的图形表

用直线系方程求适合某一条件的直线时,应注意不能被该方程表示的直线(例如,过定点(x1,y1)的直线系方程,不能表示直线x-x1=0),若它符合已知条件,应收入。

过两直线交点的直线系方程有两种形式。其中(a1x+b1y+c1)+λ(a2x+b2y+c2)=0 较简单些,但它不能包含直线a2x+b2y+c=0本身。而方程m(a1x+b1y+c1)+n(a2x+b2y+c2)=0,(m,n不同时为零的实数),可以避免这个缺陷。

例1:求与直线3x+4y-7=0垂直,且在x轴上的截距为(-2)的直线。

解法一:利用“垂直”写出直线系方程,再用“在x轴上截距为-2”这个条件确定参数。

和直线3x+4y-7=0垂直的直线系方

程是4x-3y+m=0(其中m是参数)。

直线方程是4x-3y+8=0.

解法二:利用“在x轴上截距为-2”这个条件写出直线系,再用“垂直”这个条件确定参数。

∵此直线过点(-2,0)用点斜式写出直线系y-0=k(x+2),即y=k(x+2),(斜率k是参数)。

k1k=-1

例2:求和直线3x+4y+2=0平行,且与坐标轴构成的三角形面积是24的直线l的方程。

解法一:先用“平行”这个条件写出直线系方程,再用“面积”这个条件确定参数。

与直线3x+4y+2=0平行的直线系方程是

所求直线l的方程为3x+4y±24=0.

解法二:先用“面积”这个条件写出直线系方程,再用“平行”这个条件确定参数。

设所求直线在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b,则有

画草图可知a、b同号,

∴|ab|=ab.

48x+a2y-48a=0②.因为②式的直线与3x+4y+2=0平行,

所求直线为48x+64y-48(±8)=0.

即3x+4y±24=0.

例3:已知两直线

l1∶x+2=0,

l2∶4x+3y+5=0.及定点A(-1,-2).

求:直线l,它过l1、l2的交点且与点A的距离等于1。

解法一:先利用“过l1、12的交点”写出直线系方程,再根据“l与A点距离等于1”来确定参数。

过l1、l2交点的直线系方程是

(x+2)+λ(4x+3y+5)=0,λ是参数。化为

(1+4λ)x+3λy+(2+5λ)=0①.

得λ=0。

代入方程①,得x+2=0。因为直线系方程①中不包含l2,所以应检查l2是否也符合所求l的条件。

∴l2也符合要求。

答:所求直线l的方程是

x+2=0和4x+3y+5=0.

解法二:l1、l2的交点为(-2,1),过这点的直线系方程为

y-1=k(x+2)②,斜率k是参数。

即kx-y+(2k+1)=0③,再根据方程③的直线与点A(-1,-2)的距离为1,来确定参数k。

得所求直线l的方程为4x+3y+5=0。

因为直线系方程②不包括与y轴平行的直线,所以应检查过点(-2,1)且与y轴平行的直线

x=-2是否符合所求直线l的条件。

∵点A(-1,-2)到直线x=-2的距离为1,所以直线x=-2即x+2=0也符合l的要求,应该补上,

答:所求直线l的方程是

x+2=0和4x+3y+5=0.

例4:在△ABC中,

AB边所在直线方程为4x+y-12=0。

高BH所在直线方程为5x-4y-15=0。

高AH所在直线方程为2x+2y-9=0。

求:第三条高CH所在直线方程与AC边所在直线方程。

解:(1)H为垂心,CH过BH与AH的交点,且与AB垂直。

过BH与AH交点的直线系方程为

(5x-4y-15)+λ(2x+2y-9)=0①,即

(5+2λ)x+(-4+2λ)y+(-15-9λ)=0 ②.

∴②与AB垂直,(即CH⊥AB),

代入①,得CH所在直线方程是3x-12y-1=0.

(2)直线AC是过AB与AH的交点且与BH垂直的直线,可设AC方程是过AB与AH交点的直线系方程

(4x+y-12)+λ(2x+2y-9)=0③,即

(4+2λ)x+(1+2λ)y+(-12-9λ)=0④,

∵AC⊥BH,

∴5(4+2λ)+(-4)(1+2λ)=0,得λ=-8。

代入④得直线AC的方程是4x+5y-20=0。

例5:已知2a-3b=1(a,b∈R),

求证:直线ax+by-5=0必过一个定点,并求出此定点。

代入ax+by-5=0,得(x-10)+b(3x+2y)=0①

∵b是实数,

∴方程①可看作过两相交直线交点的直线系方程,这两条直线分别是

l1∶x-10=0,

l2∶3x+2y=0,这两条直线的交点坐标为P(10,-15)。

∵P点坐标代入直线ax+by-5=0的左边得

a×10+b(-15)-5

=5(2a-3b)-5

=5×1-5

=0.

(注意2a-3b=1是已知条件),

∴直线ax+by-5=0过定点P(10,-15)。

例6已知直线l1∶2x-3y-1=0,l2:3x-y-2=0,l3:7x-7y-2009=0;求过l1、l2交点且与l3垂直的直线方程。

分析:过两直线l1,l2的交点的直线系方程为l1+λl2=0(λ∈R),根据已知条件,用待定系数法求出λ即可。

解:设λ为待定系数,则所求直线系方程是

(2x-3y-1)+λ(3x-y-2)=0,①

整理为

(2+3λ)x+(-3-λ)y+(-1-2λ)=0.②

∵方程②与直线l3垂直,其系数关系为

7(2+3λ)-7(-3-λ)=0→λ=-5/4 ③

③式代入②,所求直线为7x+7y-6=0。

例7:长度为1的线段AB(B在A的右边)在x轴上移动,点P(0,1)与A点连成直线,点Q(1,2)与B点连成直线,求直线PA和直线QB交点的轨迹方程;并作出草图。

解:如图J1-15.设交点为M(x,y,).A(a,0),则B(a+1,0),直线PA方程为

即x+ay=a.

直线BQ方程为

即2x+ay-2-2a=0.

∴动点M的参数方程为

2x+ay-2-2a=0

消去参数a得轨迹方程为

例8:已知定点O(0,0)和A(6,0),M是OA中点,以OA为一边作菱形OABC交于P点。当菱形变动时,求P点的轨迹方程。

解:如图J1-17。设动点为P(x,y),相关点为(x′,y′),A(6,0),则M(3,0)

∵|AB|=|AO|=6

∴(x-4)2+y2=4

所求轨迹方程为(x-4)2+y2=4.(去掉(6,0)和(2,0)两点).

例9:在△ABC中,B,C为定点,tgB·tgC=3ctgA+1,且ctgA≠0,求动点A的轨迹方程。

解:如图J1-18.设A(x,y),B(-a,0),C(a,0).

∵-3ctgA=1-tgB·tgC

∴tgB+tgC=3.

设角α=∠XCA

tgC=-tgα=-kAC

所求轨迹方程为:3x2+2ay-3a2=0.

例10.一动点到正三角形三边的距离的平方和等于常数,求动点的轨迹方程。

解:如图J1-19,取正三角形ABC的AB边的所在直线为x轴,AB的中垂线为y轴,建立直角坐标系.

设△ABC的边长为2a(a>0),则A(-a,0),B(a,0),

作PL⊥AB于L,PM⊥BC于

M,PN⊥AC于N.

∴|PL|2+|PM|2+|PN|2=λ2

(λ>0,λ为定值)。

AC所在直线方程为

BC所在直线方程为

故P点的轨迹方程为

当λ<a时,无轨迹。

例11:曲线C的方程是f(x,y)=0,那么曲线C关于直线y=x-2的对称曲线C′的方程是 [ ]

(A)f(y+2,x)=0.

(B)f(x-2,y)=0.

(C)f(y+2,x-2)=0.

(D)f(y-2,x+2)=0.

分析:根据示意图J1-20的直观思考。

∴f(x,y)=

f(y′+2,x′-2)=0

即f(y+2,x-2)=0.

∴应选择(C).

 
 
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