圆外角

圆外角的度数有规律

P是圆外一点，由P作圆的两条割线PAB、PCD，称为圆外角。

圆外角度数定理：圆外角的度数等于它所夹的两段弧的度数的差（大减小）的一半。记为：

证明：连结BC（如图1），则

所以

例1. 如图2，中，，以OB为半径的⊙O交AB、AO于C、D两点，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.

图2

解：延长AO交⊙O于E，因为，所以

的度数

的度数

的度数

又，所以的度数

的度数，选D。

例2. 如图3，⊙O中，弦CB、FE的延长线交于M，若，求。

图3

解：因为，所以CF的度数

又，所以

的度数

例3. 如图4，MN是⊙O的直径，若，，求的度数。

图4

解：的度数

即的度数

又因为，所以的度数

的度数

由(1)(2)得的度数，所以

例4. 由钝角的顶点A引高AD，以垂足D为圆心，AD为半径作圆，分别交AB、AC于M、N（如图5），若AB＝c，AM＝m，AN＝n，求AC的长。

图5

解：因为BC过圆心D，且

所以，从而有

的度数

的度数

又，所以

由得

仿圆外角定理，可以得到圆内角定理：

如图6，弦AB、CD交于P，则的度数（证明略）。

图6

现举一例。

例5. 如图7，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，，DE交AB于F，求证：。

图7

证明：连结CO并延长交⊙O于G，因为

，AB为⊙O的直径，

所以

的度数

的度数

故

于是，有

又

所以