间断有限元方法
间断有限元方法(discontinuous FEM)
间断有限元方法的出现，最早可以追溯到1973年Reed和Hill关于中子输运方程问题的论文。特别是80年代以来，出现了丰富多样的DGM方法，如Bassy-Rebay方法，Baumann-Oden方法，Babuska-Zlamal方法等。由于众多学者的不断发展，间断有限元方法，近年来发展的间断Galerkin有限元方法，特别是90年代以来，以Cockburn和Chi-Wang Shu为代表提出的Runge-Kutta间断Galerkin方法尤其引人注目，在许多方面的应用上显式了前所未有的效能。在解决含有间断现象的问题中发挥着越来越大的作用，它广泛地应用到了水动力学，气动力学，波传播等问题。数学上，它在解决无论是椭圆方程(elliptic equations)，双曲守恒律组(hyperbolic conservation laws)、Hamilton-Jacobia方程，对立扩散方程(convection-diffusion equations)，还有KdV方程，QHD(quantum hydrodynamic)方程、MHD(magneto hydrodymanic)方程、粘弹性流体(viscoelasitc flow)方程、Maxwell方程等问题中都是卓有成效的。
从总体上讲，间断有限元方法既保持了FEM和FVM的优点，又克服了其不足。特别是易于处理复杂边界和边值问题；同时DGM具有灵活处理间断的能力，克服了一般FEM不适于间断问题的缺点；DGM方法精度的提高可以通过适当选取基函数，即提高单元插值多项式的次数来实现，这克服了FVM中通过扩大节点模板计算剖分单元交界面处的流通量的方法来提高精度的不足；由于近似解的间断性假设，对网格正则性要求不高，不需要考虑像一般有限元方法中连续性的限制条件就可以对网格进行加密或减疏处理，而且不同的剖分单元可以采用不同形式、不同次数的逼近多项式，有利于自适应网格的形成；尤其是Runge-Kutta DGM中，由于单元基函数在单元交界处允许出现间断，可以通过适当地选取基函数，使得质量矩阵是分块对角的，而且每一块的阶数和相应单元的自由度相同，并且在每一步Runge-Kutta计算中，为了求解给定单元内部的自由度，只需要相邻单元的自由度，从而处理器之间的信息传递量保持最小，有利于并行算法的实现。