解析数论

解析数论

analytic number theory

数论中以分析方法作为研究工具的一个分支。分析方法在数论中的应用可以追溯到18世纪L.欧拉的时代。欧拉证明了，对实变数s＞1有恒等式 （式中p取遍所有素数）成立，并且由此推出素数有无穷多个。欧拉恒等式是数论中最主要的定理之一。随后P.G.L.狄利克雷创立了研究数论问题的两个重要工具，即狄利克雷（剩余）特征标与狄利克雷L函数，奠定了解析数论的基础。

解析数论是在初等数论无法解决的情况下发展起来的，因为，如果有了一个可以表达所有素数的素数普遍公式，一些由解析数论范围的内容，就自动转到初等数论的范围内。例如孪生素数猜想。以及哥德巴赫猜想。

联系数论和复变函数论的桥梁是所谓的佩隆公式(Peron). 很多数论问题可以归结为某类求和函数的估计问题，而利用佩隆公式，就可以将求和函数的估计转变为都某类复变函数的零点、极点的分布情况的估计。 大多数数论问题最终都能归结为L函数的性质讨论。

令π（x）表示不超过.x的素数的个数，关于π（x）的研究是素数论的中心问题，黎曼在数论中引入复变函数ζ(s)，称为黎曼ζ函数（见数论），他对这个函数作了深入的研究，得到了许多重要结果。特别是 ，他建立了一个与z（s）的零点有关的表示π(x）的公式，因此研究素数分布问题的关键在于研究z（s）的性质特别是它的零点的性质。这样，黎曼开创了解析数论的一个新时期。黎曼提出一个猜想：z(s)的所有复零点都在直线Res=1/2上，这就是所谓黎曼猜想。它是尚未解决的最著名的数学问题之一。

1896年，J.阿达马与C.J.dela瓦莱-普桑用解析方法同时并且相互独立地证明了素数定理即当x→∞时，π（x）～.x/lnx （这个问题最早由高斯提出），从此解析数论开始得到迅速发展。1949年，A.塞尔伯格与P.爱尔特希分别给出了对于素数定理的一个十分初等的分析证明，当然它是很复杂的。

解析数论起源于素数分布、哥德巴赫猜想、华林问题以及格点问题的研究、解析数论的方法主要有复变积分法、圆法、筛法、指数和方法、特征和方法、密率等。