有界函数
有界函数
有界函数（红）和无界函数（蓝）。
定义在集合X上的函数称为有界的，如果它所有的值所组成的集合是有界的。也就是说，存在一个数M>0，使得对于X中的所有x，都有
。 有时，如果对于X中的所有x，都有，则函数称为上有界的，A就是它的上界。另一方面，如果对于X中的所有x，都有，则函数称为下有界的，B就是它的下界。
一个特例是有界数列，其中X是所有自然数所组成的集合N。所以，一个数列f= (a0,a1,a2, ... ) 是有界的，如果存在一个数M> 0，使得对于所有的自然数n，都有
|an| ≤M。
例子由f(x)=sinx所定义的函数f:R→R是有界的。如果正弦函数是定义在所有复数的集合上，则不再是有界的。 函数 （x不等于−1或1）是无界的。当x越来越接近−1或1时，函数的值就变得越来越大。但是，如果把函数的定义域限制为[2, ∞).，则函数就是有界的。
函数 是有界的。
任何一个连续函数f:[0,1] →R都是有界的。 考虑这样一个函数：当x是有理数时，函数的值是0，而当x是无理数时，函数的值是1。这个函数是有界的。有界函数并不一定是连续的。