谓词公式

1、谓词合适公式的定义

在谓词演算中合适公式的递归定义如下：

(1) 原子谓词公式是合适公式。

(2) 若A为合适公式，则～A也是一个合适公式。

(3) 若A和B都是合适公式，则(A∧B)，(A∨B)，(A=>B)和(A←→B)也都是合适公式。

(4) 若A是合适公式，x为A中的自由变元，则(x)A和(x)A都是合适公式。

(5) 只有按上述规则(1)至(4)求得的那些公式，才是合适公式。

举例：试把下列命题表示为谓词公式：任何整数或者为正或者为负。

提问：指出此例题谓词公式中的量词、连词及蕴涵符号。

2、合适公式的性质

(1) 否定之否定

～(～P)等价于P

(2) P∨Q等价于～P→Q

(3) 狄·摩根定律

～(P∨Q)等价于～P∧～Q

～(P∧Q)等价于～P∨～Q

(4) 分配律

P∧(Q∨R)等价于(P∧Q)∨(P∧R)

P∨(Q∧R)等价于(P∨Q)∧(P∨R)

(5) 交换律

P∧Q等价于Q∧P

P∨Q等价于Q∨P

(6) 结合律

(P∧Q)∧R等价于P∧(Q∧R)

(P∨Q)∨R等价于P∨(Q∨R)

(7) 逆否律

P→Q等价于～Q→～P

此外，还可建立下列等价关系：

(8) ～(x)P(x)等价于(x)［～P(x)］

～(x)P(x)等价于(x)［～P(x)］

(9) (x)［P(x)∧Q(x)］等价于

(x)P(x)∧(x)Q(x)

(x)［P(x)∨Q(x)］等价于

(x)P(x)∨(x)Q(x)

(10) (x)P(x)等价于(y)P(y)

(x)P(x)等价于(y)P(y)

证明：否定之否定，～(～P)等价于P。