双曲复数
双曲复数
目录1定义
1.1共轭、范数
1.2 除法
1.3 基
2 几何
3 历史
定义考虑数z = x + jy，其中x,y是实数，而量j不是实数，但j2是实数。
选取j2 = − 1，得到一般复数。取 + 1的话，便得到双曲复数。
定义双曲复数的加法和乘法如下，使之符合交换律、结合律和分配律：
(x + jy) + (u + jv) = (x + u) + j(y + v)
(x + jy)(u + jv) = (x + jy)(u) + (x + jy)(jv) = xu + jyu + jxv + j2yv = (xu + yv) + j(xv + yu)
共轭、范数对于z = x + jy，其共轭值z * = x − jy。对于任何双曲复数z,w，
(z + w) * = z * + w *
(zw) * = z * w *
(z * ) * = z
可见它是自同构的。
定义内积为
。
双曲复数的平方范数就取自己和自己的内积，即自身和其共轭值之乘积（闵可夫斯基范数）
除法除了0之外，也不是每个双曲复数都有乘法逆元。
双曲复数可逆当且仅当其平方范数非零。
基双曲复数有哪些幂等元？
列方程(x + jy)2 = (x2 + y2) + 2xyj。有四个解：1,0,s = (1 − j) / 2,s * = (1 + j) / 2。
s和s^*都是不可逆的。它们可以作双曲复数的基。z = x + jy = (x − y)s + (x + y)s * 。
若将z = ae + be * 表示成(a,b)，双曲复数的乘法可表示成(a,b)(c,d) = (ac,bd) 。因此，在这个基里，双曲复数的加法和乘法和直和R♁R同构。
共轭可表示为(a,b) * = (b,a)。
几何有闵可夫斯基内积的二维实向量空间称为1+1闵可夫斯基空间，表示为R1,1。正如欧几理德平面R2的几何学可以复数表示，闵可夫斯基空间的几何学可以双曲复数表示。
历史1848年James Cockle提出了Tessarines。1882年威廉·金顿·克利福德以双曲复数表示自旋和。
20世纪，双曲复数成为描述狭义相对论的洛仑兹变换的工具，因为不同参考系之间的速度变换可由双曲旋转表达。——lp