欧拉方程

欧拉方程Euler’s equation对无粘性流体微团应用牛顿第二定律得到的运动微

分方程。欧拉方程是无粘性流体动力学中最重要的基本

方程,应用十分广泛。1755年,瑞士数学家L.欧拉在《流

体运动的一般原理》一书中首先提出这个方程。

在研究一些物理问题，如热的传导、圆膜的振动、电磁波的传播等问题时，常常碰到如下形式的方程：

（ax^2D^2+bxD+c）y=f(x),

其中a、b、c是常数，这是一个二阶变系数线性微分方程。它的系数具有一定的规律：二阶导数D^2y的系数是二次函数ax^2，一阶导数Dy的系数是一次函数bx，y的系数是常数。这样的方程称为欧拉方程。

例如：(x^2D^2-xD+1)y=0,(x^2D^2-2xD+2)y=2x^3-x等都是欧拉方程。

化学中足球烯即C-60和此方程有关

证明过程：

利用级数。

exp(x)=1+x+(x^2)/2!+(x^3)/3!＋(x^4)/4!+……

sin(x)=x-(x^3)/3!+(x^5)/5!-(x^7)/7!＋……

cos(x)=1-(x^2)/2!+(x^4)/4!-(x^6)/6!＋……

其中exp(x)=e^x

于是exp(ix)=1+ix-(x^2)/2!-i(x^3)/3!+(x^4)/4!＋i(x^5)/5!＋……

比较以上3式，就得出欧拉公式了

泛函的欧拉方程(by zhengpin1390)(二)、泛函的欧拉方程

欧拉方程是泛函极值条件的微分表达式，求解泛函的欧拉方程，即可得到使泛函取极值的驻函数，将变分问题转化为微分问题。

（1） 最简单的欧拉方程：

设函数F(x,y,y') 是三个变量的连续函数，且点(x,y)位于有界闭区域B内，则对形如

的变分，若其满足以下条件：

c) 在有界闭区域B内存在某条特定曲线y。(x) ，使泛函取极值，且此曲线具有二阶连续导数。

则函数y。(x) 满足微分方程：

上式即为泛函Q[y]的欧拉方程。

（2）含有自变函数高阶倒数的泛函的欧拉方程

一般来说，对于下述泛函：

在类似条件下，可以得到对应的欧拉方程为：

（3）含有多个自变函数的泛函的欧拉方程

对于下述泛函：

其欧拉方程组为：

（4）多元函数的泛函及其欧拉方程

此处仅考虑二元函数的情况，对如下所示多元函数的泛函：

其欧拉方程为：

欧拉方程 (刚体运动)在物理学上，欧拉方程统治刚体的转动。我们可以选取相对于惯量的主轴坐标为体坐标轴系。这使得计算得以简化，因为我们现在可以将角动量的变化分成分别描述的大小变化和方向变化的部分，并进一步将惯量对角化。