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缺8数

王朝百科·作者佚名  2009-10-24  
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自然数12345679被称为“缺8数”,它有许多奇妙的性质。

缺8数
奇妙的缺8数

清一色缺8数乘以9的倍数可以得到“清一色”,例如:

12345679×9=111111111

12345679×18=222222222

12345679×27=333333333

12345679×36=444444444

缺8数
清一色之美

12345679×45=555555555

12345679×54=666666666

12345679×63=777777777

12345679×72=888888888

12345679×81=999999999

三位一体缺8数乘以3的倍数但不是9的倍数,可以得到“三位一体”,例如:

12345679×12=148148148

12345679×15=185185185

12345679×33=407407407

12345679×57=703703703

12345679×78=962962962

轮流休息当乘数不是9或3的倍数时,此时虽然没有清一色或三位一体的现象,但仍可以看到一种奇异性质:乘积的各位数字均无雷同,缺少1个数字,而且存在着明确的规律。另外,在乘积中缺3、缺6、缺9的情况肯定不存在。例如乘数在区间[10,17]的情况(其中12和15因是3的倍数,予以排除):

12345679×10=123456790(缺8)

12345679×11=135802469(缺7)

12345679×13=160493827(缺5)

12345679×14=172839506(缺4)

12345679×16=197530864(缺2)

12345679×17=209876543(缺1)

乘数在[19,26]及其他区间(区间长度等于7)的情况与此完全类似。乘积中缺什么数,就像工厂或商店中职工“轮休”,人人有份,既不多也不少,实在有趣。

一以贯之当乘数超过81时,乘积将至少是十位数,但上述的各种现象依然存在,真是“吾道一以贯之”。例如:

乘数为9的倍数

12345679×243=2999999997

只要把乘积中最左边的一个数2加到最右边的7上,仍呈现“清一色”。

乘数为3的倍数,但不是9的倍数

12345679×84=1037037036

只要把乘积中最左边的一个数1加到最右边的6上,又出现“三位一体”。

乘数为3K+1或3K+2型

12345679×98=1209876542

表面上看来,乘积中出现雷同的2,但只要把乘积中最左边的数1加到最右边的2上去之后,所得数为209876543,是“缺1”数,仍是轮流“休息”。

走马灯当缺8数乘以19时,其乘数将是234567901,像走马灯一样,原先居第二位的数2却成了开路先锋。例如:

12345679×19=234567901

12345679×28=345679012

12345679×37=456790123

深入的研究显示,当乘数为一个公差等于9的算术级数时,出现“走马灯”的现象。例如:

12345679×8=098765432

12345679×17=209876543

12345679×26=320987654

12345679×35=432098765

回文结对 携手同行缺8数的精细结构引起研究者的浓厚兴趣,人们偶然注意到:

12345679×4=49382716

12345679×5=61728395

前一式的数颠倒过来读,正好就是后一式的积数。(虽有微小的差异,即5代以4,而根据“轮休学说”,这正是题中应有之义)

这样的“回文结对,携手并进”现象,对(13、14)(22、23)(31、32)(40、41)等各对乘数(每相邻两对乘数的对应公差均等于9)也应如此。例如:

12345679×22=271604938

12345679×23=283950617

前一式的数颠倒过来读,正好是后一式的积数。(后一式的2移到后面,并5代以4)

追本穷源缺8数12345679实际上与循环小数是一根藤上的瓜,因为:

1/81=0.012345679012345679012345679……,缺8数和1/81的循环节有关。

在以上小数中,为什么别的数码都不缺,而唯独缺少8呢?

我们看到,1/81=1/9×1/9,把1/9化成循环小数,其循环节只有一位,即1/9=0.111111111……

1/9×1/9,即无穷个1的自乘。不妨先从有限个1的平方来看:

很明显,11的平方=121,111的平方=12321,……,直到111111111的平方=12345678987654321。

但现在是无穷个1的平方,长长的队伍看不到尽头,怎么办呢?

缺8数
缺8数隐藏在循环小数里

利用数学归纳法,不难证明,在所有的层次,8都被一一跳过。

那么,缺8数乘以9的倍数得到“清一色”就很好理解了,因为:

1/81×9=1/9=0.111111111……

缺8数乘以3的倍数得到“三位一体”也不难理解,因为:

1/81×3=1/27=0.037037037……,一开始就出现了三位的循环节。

缺8数乘以公差为9的等差数列时相当于在原有基础上每位数加1,自然就出现“走马灯”了。

循环小数与循环群、周期现象的研究方兴未艾,缺8数已引起人们的浓厚兴趣与密切关注。由于计算机科学的蓬勃发展,人们越来越不满足于泛泛的几条性质,而更着眼于探索其精微的结构。

 
 
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