秩
zhi 读第四声。
线性代数中矩阵中的任意一个r阶子式不为0,且任意的r+1阶子式为0,则阶数r就叫作该矩阵的秩.
1.官吏的俸禄。
父兄大臣禄秩过功，章服侵等。----《韩非子·亡征》
2.官吏的官阶、品级。
遗诏赐诸侯王各千金，将相列侯郎吏皆以秩赐金----《史记·吕太后本纪》
3.次序。
贱者咸得秩进。----《汉书·谷永传》
4.整理。
乃命四监，收秩薪柴。----《吕氏春秋·季冬》
5.年份，十年为一秩。
已开第七秩，饱食仍安眠。----《白居易·思旧》
6.渤海国官吏品级。分八秩。三秩以上穿紫衣、牙笏、金鱼。五秩以上穿绯衣、牙笏、银鱼。六、七秩穿浅绯衣，八秩穿绿衣，皆用木笏。
英语
1.order
2.orderly
3.official salaries; official ranks
线性代数中的秩在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性无关的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。
矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵A的秩。通常表示为 rk(A) 或 rankA。
m×n矩阵的秩最大为m和n中的较小者。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足的。
可替代的定义
用向量组的秩定义
向量组的秩：在一个m维线性空间E中，一个向量组的秩表示的是其生成的子空间的维度。考虑m×n矩阵，将A的秩定义为向量组F的秩，则可以看到如此定义的A的秩就是矩阵A的线性无关纵列的极大数目，即A的列空间的维度(列空间是由A的纵列生成的F的子空间)。因为列秩和行秩是相等的，我们也可以定义A的秩为A的行空间的维度。
用线性映射定义
考虑线性映射：
对于每个矩阵A，fA都是一个线性映射，同时，对每个的 线性映射f，都存在矩阵A使得f=fA。也就是说，映射
是一个同构映射。所以一个矩阵A的秩还可定义为fA的像的维度(像与核的讨论参见线性映射)。矩阵A称为fA的变换矩阵。这个定义的好处是适用于任何线性映射而不需要指定矩阵，因为每个线性映射有且仅有一个矩阵与其对应。秩还可以定义为n减f的核的维度；秩-零化度定理声称它等于f的像的维度。
性质
我们假定A是在域F上的m×n矩阵并描述了上述线性映射。
只有零矩阵有秩 0A的秩最大为 min(m,n)f是单射，当且仅当A有秩n(在这种情况下，我们称A有“满列秩”)。f是满射，当且仅当A有秩m(在这种情况下，我们称A有“满行秩”)。 在方块矩阵A(就是m=n) 的情况下，则A是可逆的，当且仅当A有秩n(也就是A有满秩)。 如果B是任何n×k矩阵，则AB的秩最大为A的秩和B的秩的小者。 即：秩(AB)≤min(秩(A)，秩(B)) 推广到若干个矩阵的情况，就是：秩(A1A2...Am )≤min(秩(A1)，秩(A2)，...秩(Am)) 证明： 考虑矩阵的秩的线性映射的定义，令A、B对应的线性映射分别为f和g，则秩(AB)表示复合映射f·g，它的象Im f·g是g的像Im g在映射f作用下的象。然而Im g是整个空间的一部分，因此它在映射f作用下的象也是整个空间在映射f作用下的象的一部分。也就是说映射Im f·g是Im f的一部分。对矩阵就是：秩(AB)≤秩(A)。 对于另一个不等式：秩(AB)≤秩(B)，考虑Im g的一组基：（e1，e2，...，en），容易证明（f(e1)，f(e2)，...，f(en)）生成了空间Im f·g，于是Im f·g的维度小于等于Im g的维度。对矩阵就是：秩(AB)≤秩(B)。 因此有：秩(AB)≤min(秩(A)，秩(B))。若干个矩阵的情况证明类似。 作为 "<" 情况的一个例子，考虑积 两个因子都有秩 1，而这个积有秩 0。 可以看出，等号成立当且仅当其中一个矩阵（比如说A）对应的线性映射不减少空间的维度，即是单射，这时A是满秩的。于是有以下性质： 如果B是秩n的n×k矩阵，则AB有同A一样的秩。 如果C是秩m的l×m矩阵，则CA有同A一样的秩。A的秩等于r，当且仅当存在一个可逆m×m矩阵X和一个可逆的n×n矩阵Y使得 这里的 Ir指示r×r单位矩阵。 证明可以通过高斯消去法构造性地给出。
矩阵的秩加上矩阵的零化度等于矩阵的纵列数(这就是秩-零化度定理)。计算
计算矩阵A的秩的最容易的方式是高斯消去法。高斯算法生成的A的行梯阵形式有同A一样的秩，它的秩就是非零行的数目。
例如考虑 4 × 4 矩阵
我们看到第 2 纵列是第 1 纵列的两倍，而第 4 纵列等于第 1 和第 3 纵列的总和。第1 和第 3 纵列是线性无关的，所以A的秩是 2。这可以用高斯算法验证。它生成下列A的行梯阵形式:
它有两个非零的横行。
在应用在计算机上的浮点数的时候，基本高斯消去(LU分解)可能是不稳定的，应当使用秩启示(revealing)分解。一个有效的替代者是奇异值分解(SVD)，但还有更少代价的选择，比如有支点(pivoting)的QR分解，它也比高斯消去在数值上更强壮。秩的数值判定要求对一个值比如来自 SVD 的一个奇异值是否为零的依据，实际选择依赖于矩阵和应用二者。
应用
计算矩阵的秩的一个有用应用是计算线性方程组解的数目。如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则方程组只要有一个解。在这种情况下，它有精确的一个解，如果它的秩等于方程的数目。如果增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩，则通解有k个自由参量，这里的k是在方程的数目和秩的差。否则方程组是不一致的。
在控制论中，矩阵的秩可以用来确定线性系统是否为可控制的，或可观察的。