王朝百科
分享
 
 
 

子群

王朝百科·作者佚名  2010-01-30  
宽屏版  字体: |||超大  

设<G,·>是一个群,H是G的子集,若H在运算·下也是群,则称H是G的子群。

作为二元关系,子群关系具有传递性。即若H是G的子群而K是H的子群,则K也是G的子群。

关于群的子群的判别问题,有下列命题:

1.设H是群<G,·>的非空子集,则H是G的子群当且仅当H满足下列两条件之一:

(1)对任意a,b∈H,a·b∈H 且a^(-1)∈H;

(2)对任意a,b∈H, a·b^(-1)∈H。

任何群<G,·>有两个平凡的子群:G和,其中e是G的幺元。

子群的基本性质

H是群G的子群当且仅当其为非空集且在乘积和逆运算下为封闭的。(封闭条件是指:任两个在H内的元素a和b,ab和a−1都为在H中。这两个条件可以结合成一个等价的条件:任两个在H内的a和b,ab−1也会在H内。)在H是有限的情状下,则H是一个子群当且仅当H在乘积下为封闭的。(在此一情形下,每一个H的元素a都会产生一个H的有限循环子群,且a的逆元素会是a−1 = an − 1,其中n为a的目。)

上述的条件可以用同态来叙述;亦即,H为群G的子群当且仅当H为G的子集且存在一个由H映射到G的内含同态(即对每个a,i(a) = a)。

子群的单位元亦是群的单位元:若G是个有单位元素eG的群,且H为具有单位元素eH之G的子群,则eH = eG。

一个子群内的一元素之逆元素为群内的此元素的逆元素:若H是群G的子群,且a和b为会使得ab=ba=eH之H内的元素,则ab = ba = eG。

子群A和B的交集亦为一个子群。但其联集亦为一个子群当且仅当A或B包含着另外一个,像是2和3是在2Z与3Z的联集中,但其总和5则不是。

若S是G的子集,则存在一个包括S的最小子群,其可以由取得所有包括S的子群之交集来找出;此一最小子群被标记为<S>且称为由S产生的子群。G内的一个元素在<S>内当且仅当其为S内之元素的有限乘积且其逆元。

群G内的每一个元素a都会产生一个循环子群<a>。若<a>同构于某一正整数n之Z/nZ,则n会是最小个会使得an = e的正整数,且n被称为是a的“目”。若<a>同构于Z,则a会被称有“无限目”。

任一给定的群之子群都会形成一个在内含下的完全格,称之为子群格。(其最大下界为一般的集合论交集,而其一群子群的最小上界所此些子群之集合论联集“所产生”的子群。)若e为G的单位元素,则其当然群{e}会是群G的最小子群,而其最大子群则会是群G本身。

相关词条:

陪集,正规子群,中心

 
 
免责声明:本文为网络用户发布,其观点仅代表作者个人观点,与本站无关,本站仅提供信息存储服务。文中陈述内容未经本站证实,其真实性、完整性、及时性本站不作任何保证或承诺,请读者仅作参考,并请自行核实相关内容。
如何用java替换看不见的字符比如零宽空格&#8203;十六进制U+200B
 干货   2023-09-10
网页字号不能单数吗,网页字体大小为什么一般都是偶数
 干货   2023-09-06
java.lang.ArrayIndexOutOfBoundsException: 4096
 干货   2023-09-06
Noto Sans CJK SC字体下载地址
 干货   2023-08-30
window.navigator和navigator的区别是什么?
 干货   2023-08-23
js获取referer、useragent、浏览器语言
 干货   2023-08-23
oscache遇到404时会不会缓存?
 干货   2023-08-23
linux下用rm -rf *删除大量文件太慢怎么解决?
 干货   2023-08-08
刀郎新歌破世界纪录!
 娱乐   2023-08-01
js实现放大缩小页面
 干货   2023-07-31
生成式人工智能服务管理暂行办法
 百态   2023-07-31
英语学习:过去完成时The Past Perfect Tense举例说明
 干货   2023-07-31
Mysql常用sql命令语句整理
 干货   2023-07-30
科学家复活了46000年前的虫子
 探索   2023-07-29
英语学习:过去进行时The Past Continuous Tense举例说明
 干货   2023-07-28
meta name="applicable-device"告知页面适合哪种终端设备:PC端、移动端还是自适应
 干货   2023-07-28
只用css如何实现打字机特效?
 百态   2023-07-15
css怎么实现上下滚动
 干货   2023-06-28
canvas怎么画一个三角形?
 干货   2023-06-28
canvas怎么画一个椭圆形?
 干货   2023-06-28
canvas怎么画一个圆形?
 干货   2023-06-28
canvas怎么画一个正方形?
 干货   2023-06-28
中国河南省郑州市金水区蜘蛛爬虫ip大全
 干货   2023-06-22
javascript简易动态时间代码
 干货   2023-06-20
感谢员工的付出和激励的话怎么说?
 干货   2023-06-18
 
>>返回首页<<
 
 
静静地坐在废墟上,四周的荒凉一望无际,忽然觉得,凄凉也很美
© 2005- 王朝网络 版权所有