角平分线长公式

角平分线是将某一只角平分为两相等之部分的线段。

在 ABC中, 角A的角平分线记为ta, 角B的角平分线记为tb, 角C的角平分线记为tc, 它们长度的公式为:

ta=2/(b+c)*√bcs(s-a)tb=2/(a+c)*√cas(s-b)tc=2/(a+b)√abs(s-c)

∵∠ABE=∠EBC BE为ABC的角平分线 ∴BE=tb∵AEB+CEB=180° (直线上的邻角) ∴AEB=180°-CEB ∴sinAEB=sin(180°-CEB) ∴sinAEB=sinCEB ∵ABE=EBC (已知) ∴sinABE=sinEBC &sinAEB=sinCEB (已证) ∴x/c=y/ax/a=y/c(更比定理) (x+y)/y=(c+a)/a(合比定理) b/y=(c+a)/a∴y=(a*b)/(c+a)(1) 在BCE中, tb^2=a^2+y^2(余弦定理)...(2) (∵) (余弦定理)...(3) ∴把以上(1)式及(3)式代入(2)式 ∴ 化简之, 得: 令s=半周长,Q.E.D.

同理, 可证得其他两式