Z变换
Z变换（Z-transformation）
对离散序列进行的一种数学变换。常用以求线性时不变差分方程的解。它在离散时间系统中的地位，如同拉普拉斯变换在连续时间系统中的地位。这一方法 ( 即离散时间信号的Z变换)已成为分析线性时不变离散时间系统问题的重要工具。在数字信号处理、计算机控制系统等领域有广泛的应用。
离散时间序列 x(n) 的Z变换定义为X(z)＝x(n)z-n ，式中z＝e，σ为实变数，ω为实变量，j＝，所以z是一个幅度为eб，相位为ω的复变量。x(n)和X(z)构成一个Z变换时 。Z变换有如下性质：线性、移位、时域卷积、求和、频移、调制 、微分以及乘 an 。 这些性质对于解决实际问题非常有用 。 已知Z变换X(z)求对应的离散时间序列称为Z变换的逆变换 。
Z变换的定义:
z变换的存在条件是:级数绝对可积。
使级数绝对可和的成立的所以Z值称为Z变换域的收敛域
Z变换的表达式及其对应的收敛域才能确定原始的离散序列
z变换的收敛域:
(1) 有序长序列:x(n)=0 (n1<n<n2)其z变换为：
收敛域为：三种情况
（２）因果序列：x（n）＝f（n)u(n) 其Z变换为:
收敛域为:
(3)右序列 x(n) =0 n<n1 Z变换为:
收敛域为:两种情况
(4)左序列x(n)=0 n>n1 Z变换为:
收敛域为:两种情况
(5)双边序列 一个左序列和一个右序列之和
逆Z变换:已知序列的Z变换及其收敛域,求序列
(1) 用留数定理求逆Z变换
(2) 部分分式展开法
(3)幂级数展开法
Z变换的性质和定理
(1) 线性
(2) 序列的移位:单边和双边
(3) 与序列指数相乘
(4)序列乘以n
(5)复序列的共轭
(6)初值定理
(7) 序列卷积
(8)终值定理
(9)复卷积定理
用Z变换求差分方程的解:Y(z)= Yzs(z) +Yzi(z)
对其1,2, 3 分别做逆变换得到的系统的全响应y(n),零状态响应yzs(n)和零输入响应 yzi(n)
系统函数: H (z)= Y(z)/X(z) =N(z)/D(z) N(z)=0的根为H(z)的零点 D(z)=0的根为H(z)的极点
除了比例常数以外,整个系统可以由它的全部零点和极点唯一决定
系统H(z)与单位脉冲响应h(n)是一z变换.单位脉冲响应的完全形式由系统函数的全部零点和 极点唯一决定
用z变换分析系统的因果性和稳定性
系统的频率响应:H(e jw)是h(n)的离散时间傅立叶变换. 可由系统函数导出
基本性质: 周期性;对称性;
利用系统的零,极点分布分析系统的频率特性
全通系统:|H(e jw)|对所有的w均为常数.
最小相位系统:
输入/输出卷积方程
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输入/输出差分方程 ---- 系统函数H(z) ----- 单位脉冲响应h(n)
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频率响应H(ejw) 零极点分布
零点极点分布是一种重要的系统分析工具,主要用途:分析系统的稳定性和因果性;定性分析系统的频域特征
频率响应H(ejw)实际上是指单位脉冲响应h(n)的离散时间傅立叶变换(DTFT)