琴弦定律
在给定张力作用下，一根给定弦的频率与其长度成反比；音程之比越简单，和声越和谐。
毕达哥拉斯与阿波罗的竖琴毕达哥拉斯始终厌恶笛子，独钟竖琴，这件事常常让后人难以理解，但如果知道事情原委，那就不足为奇了。
一个原因是毕达哥拉斯赋予乐器以道德意义。他一向崇尚节俭简朴、力戒矫侈的斯巴达人生活方式。当时的贵族阶层往往沉湎于终日豪饮狂欢，盛宴时总少不了让一位美少女吹笛奏乐以助兴，这使他甚为反感。在他眼里，笛子不仅成了奢华生活的标志，而且吹笛人在运气时双腮鼓出，实在不雅。他和后来的苏格拉底都固执地认为，管乐使人轻佻放浪，丧失理智；弦乐使人沉思稳健，端庄高雅。其实，笛子比竖琴更易学，也更大众化。
但是更本原因还在于毕达哥拉斯的神学观——独尊太阳神阿波罗。在古希腊神话中。智慧女神雅典娜发明了长笛。当她端坐河边吹奏时，笛子的气流竟“吹皱了一池春水”。蓦然间，她发觉荡起的涟漪中自己的倒影扭曲得很难看，不禁羞愤难当，扔掉笛子匆匆离去。半人半羊的森林之神马西亚斯见状，捡起笛子就狂吹起来，吹得如痴如醉，得意忘形。他昏了头，竟敢用笛子去挑战阿波罗的七弦琴。结果马西亚斯输了。阿波罗十分震怒，用奥林匹斯山上最严厉的刑法惩罚他，剥了他的皮挂在一棵树上，一有笛声，那张羊皮就闻声而动。可是牧神潘不服气，又拿笛子找阿波罗比试。这次是巴比伦国王米达斯当裁判，判定笛声胜于琴声。阿波罗认定这是对声乐的大不敬，一怒之下让米达斯长了对驴耳朵。
阿波罗不喜欢笛子，他只弹奏竖琴一种乐器，诸神在他的琴声中陶醉了。
毕达哥拉斯不喜欢笛子，他只弹奏竖琴一种乐器，人们在他的琴声中陶醉了。
铁匠的铁锤敲出的灵感火花“丁、当！丁、当！……”
一阵阵很有节奏的金属敲击声把他从冥冥苦思中唤醒。毕达哥拉斯正在散步，他抬头往声音传来的方向望去，喃喃自语到：“哦，那是一家铁匠铺。”音乐家的本性使他细细品位着那悦耳的打铁声，就像在欣赏打击乐演奏的一首韵律明快的打铁进行曲。突然间，他那敏锐的耳朵捕捉到其中交织着的不同和声，进来一直被和声问题所困扰的他，眼前顿时一亮。“神哪，感谢您恩赐的启示！”直觉告诉他：眼前有有了一条可引人走出和声迷宫的线索。他控制住加快的心跳，信步拐进了铁匠铺。
在铁匠铺里，铁匠师傅挥汗如雨。“为什么声响有的清脆，有的沉闷呢？”毕达哥拉斯在思考这样一个怪问题。自从人类生就耳朵以来，很少有人会费心去想如此一个无聊问题。即使在自由风气盛行的古希腊，毕达哥拉斯这种天马行空、独来独往的性格，也常常会招来人们的讥讽和抨击。
他一直在考虑如何造出一种可精确“看见”不同音高的效音装置。以便把定性的听觉变成定量的视觉。古希腊音乐的和声理论以四声音阶为基础，四弦里拉琴成了为协和音程定音的主要乐器。但在毕达哥拉斯发现和声的简单数字比例之前，多少年来乐师们全凭耳朵给弦乐器定音，其中个体差异性和随意性之大可想而知。
铁匠师傅们在数台铁砧上锤打着不同的铁块，时不时调换着不同的铁锤。毕达哥拉斯出神地站着，就像在虔诚地聆听和领悟阿波罗的一道神谕。
实验出真知经过反复比较和苦苦思索，他发现锤声的钝锐和铁锤、铁块、铁砧的形状无关，也同铁匠的用力无关，而是由不同的铁锤的重量（确切地说是质量）所决定的。每当听到和声发出，他就请铁匠师傅在换锤间歇时称一下重量，进而发现：和谐锐耳的敲击声是由重量为12、9、8、6磅的铁锤两两搭配时发出的，其他的搭配就不那么顺耳了。他当场兴奋地记下了音度和铁锤重量比的关系：12：6（既2：1）对应八度音，9：6（即3：2）对应于五度音，12：9（即4：3）对应于四度音，9：8对应于二度音。
“音程之比越简单，和声越和谐。这是真的吗？”毕达哥拉斯反躬自问道。“宇宙和谐”信念已从直觉上暗示了他，但他仍然决定反复实验来验证。虽然他平时为了保持“阿波罗化身”的形象而装神弄鬼，同时因服食罂粟而常常分不清幻觉和现实，但他毕竟和一般的祭司、巫师不同。他的许多发明和发现表明，他的创造力不仅源于他那深邃的哲学悟性、丰富的艺术灵性，更源于尊重经验和数学的科学理性。
从铁匠铺获得了灵感，他趁热打铁，很快做了第一个实验。他从铁匠铺借来不同重量的铁锤头，并在家居木屋的墙角上敲了一枚长铁钉，在上面等间距栓挂4根相同的金属弦。为了排除误差，他选择钉身粗细均匀，弦的质地、长短、轻重、粗细和栓法都一样。他在每根弦的末端轮换着悬吊不同重量的铁锤头，使弦受到不同的张力，再相邻两根一组地敲击，先后听到了锐耳的不同谐音。他发现：和弦音度和重物重量比的关系，同在铁匠铺的发现惊人吻合。他在人前从不苟言笑，喜怒不形于色，但这时却禁不住激动地呼喊：“啊！阿波罗的和弦永远在振动！”
他又在两侧墙角间拉起一根金属弦，通过在弦上悬挂可滑动的重物来改变弦长，并在墙上刻画出标尺。他逐一记下不同弦长对应的不同音高。这种称为“独弦琴”的装置，后来成了他讲解乐理的教具：以长方形木盒作共鸣箱，上面只安一根弦，被弹拨的琴弦长短可由底下撑起的一个移动音桥（即琴码）来调节，振动部分的长短不同，发音高低也不同。他第一次把数学引进音乐，在箱面上标画刻度，精确标出了与弦长变化对应的音高变化。
接着，他又在钉上绷起了第二条平行弦，变成“二弦琴”。他反复测试后发现：两条琴弦的弦音程之比越简单，和声真的越和谐，比值竟和在铁匠铺得到的完全一样；反之，当比例太复杂，比如137：171、23：29之类，听上去就很刺耳。他的嘴角暗暗掠过一丝微笑，心底又禁不住在呼喊：“啊！阿波罗的和弦永远在振动！”
在名著《物理学发展史》（1962年）中，著名俄裔美籍物理学家乔治·伽莫夫高度评价了毕达哥拉斯的琴弦定律。他说：“这一发现大概是物理定律的第一次数学公式表明，完全可以认为是今天所谓理论物理学发展的第一步。”