抛物线
1.定义平面内,到一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹(或集合)称之为抛物线。另外,F称为"抛物线的焦点",l称为"抛物线的准线"。
定义焦点到抛物线的准线的距离为"焦准距",用p表示.p>0.
以平行于地面的方向将切割平面插入一个圆锥，可得一个圆，如果倾斜这个平面直至与其一边平行，就可以做一条抛物线。
2.抛物线的标准方程右开口抛物线:y^2=2px
左开口抛物线:y^2=-2px
上开口抛物线:x^2=2py
下开口抛物线:x^2=-2py
p为焦准距（p>0）
3.抛物线相关参数(对于向右开口的抛物线)离心率:e=1
焦点:(p/2,0)
准线方程l:x=-p/2
顶点:(0,0)
通径(定义：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦)：2P
4.它的解析式求法：以焦点在X轴上为例
知道P（x0,y0)
令所求为y^2=2px
则有y0^2=2px0
∴2p=y0^2/x0
∴抛物线为y^2=(y0^2/x0)x
5.抛物线的光学性质:经过焦点的光线经抛物线反射后的光线平行抛物线的对称轴。
6.抛物线的一段的面积和弧长公式
面积 Area=2ab/3
弧长 Arc length ABC
=√(b^2+16a^2 )/2+b^2/8a ln((4a+√(b^2+16a^2 ))/b)
7.其他抛物线：y = ax^2 + bx + c （a≠0)
就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c
a > 0时开口向上
a < 0时开口向下
c = 0时抛物线经过原点
b = 0时抛物线对称轴为y轴
还有顶点式y = a（x-h）^2 + k
就是y等于a乘以（x-h）的平方+k
h是顶点坐标的x
k是顶点坐标的y 标准形式的抛物线在x0，y0点的切线就是 ：yy0=p(x+x0)
一般用于求最大值与最小值
抛物线标准方程:y^2=2px
它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2
由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py
8.用抛物线的对称性解题我们知道，抛物线y = ax2 + bx + c ( a ≠0 )是轴对称图形，它的对称轴是直线x = - b/ 2a ，它的顶点在对称轴上。解决有关抛物线的问题时，若能巧用抛物线的对称性，则常可以给出简捷的解法。
例1已知抛物线的对称轴是x =1，抛物线与y轴交于点（0，3），与x轴两交点间的距离为4，求此抛物线的解析式。
分析设抛物线的解析式为y = ax2 + bx + c 。若按常规解法，则需要解关于a、b、c的三元一次方程组，变形过程比较繁杂；若巧用抛物线的对称性，解法就简捷了。因为抛物线的对称轴为x =1，与x轴两交点间的距离为4，由抛物线的对称性可知，它与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点。于是可设抛物线的解析式为y = a（x+1）（x-3）。又因为抛物线与y轴交于点（0，3），所以3 = -3a。故a =-1。
∴y = -（x+1）（x-3），即
y = - x2 + 2x +3。
例2已知抛物线经过A（-1，2）、B（3，2）两点，其顶点的纵坐标为6，求当x =0时y的值。
分析要求当x =0时y的值，只要求出抛物线的解析式即可。
由抛物线的对称性可知，A（-1，2）、B（3，2）两点是抛物线上的对称点。由此可知，抛物线的对称轴是x = 1。故抛物线的顶点是（1，6）。于是可设抛物线的解析式为y = a（x-1）2+ 6。因为点（-1，2）在抛物线上，所以4a + 6 = 2。故a = -1。
∴y = -（x-1）2+ 6，即
y = - x2 + 2x +5。
∴当x =0时，y = 5。
例3已知抛物线与x轴两交点A、B间的距离为4，与y轴交于点C，其顶点为（-1，4），求△ABC的面积。
分析要求△ABC的面积，只要求出点C的坐标即可。为此，需求出抛物线的解析式。由题设可知，抛物线的对称轴是x = -1。由抛物线的对称性可知，A、B两点的坐标分别为（-3，0）、（1，0）。故可设抛物线的解析式为y = a（x+1）2+ 4[或y = a（x+3）（x-1）]。
∵点（1，0）在抛物线上，
∴4a + 4 = 0。∴a = -1。
∴y = -（x+1）2+ 4，即
y = - x2 - 2x +3。
∴点C的坐标为（0，3）。
∴S△ABC = 1/2×（4×3）= 6。
例4已知抛物线y = ax2 + bx + c的顶点A的纵坐标是4，与y轴交于点B，与x轴交于C、D两点，且-1和3是方程ax2 + bx + c =0的两个根，求四边形ABCD的面积。
分析要求四边形ABCD的面积，求出A、B两点的坐标即可。为此，要求出抛物线的解析式。由题设可知，C、D两点的坐标分别为（-1，0）、（3，0）。由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴是x = 1。故顶点A的坐标是（1，4）。从而可设抛物线的解析式为y = a（x-1）2+ 4[或y = a（x+1）（x-3）]。
∵点（-1，0）在抛物线上，
∴4a + 4 = 0。故a = -1。
∴y = -（x-1）2+ 4，即
y = - x2 + 2x +3。
∴点B的坐标为（0，3）。
连结OA ，则S四边形ABCD = S△BOC + S△AOB + S△AOD = 1/2×1×3＋1/2×3×1＋1/2×3×4=9
9.关于抛物线的相关结论过抛物线y^2=2px(p>0)焦点F作倾斜角为θ的直线L,L与抛物线相交于A（x1,y1)，B(x2,y2),有
① x1*x2 = p^2/4 , y1*y2 = —P^2
② 焦点弦长：|AB| = x1+x2+P = 2P/[(sinθ)^2]
③ （1/|FA|）+（1/|FB|）= 2/P
④若OA垂直OB则AB过定点M（2P，0）
⑤焦半径：|FP|=x+p/2 （抛物线上一点P到焦点F距离等于到准线L距离）
⑥弦长公式：AB=x1+x2+p
⑦△=b^2-4ac
⑴△=b^2-4ac>0有两个实数根
⑵△=b^2-4ac=0有两个一样的实数根
⑶△=b^2-4ac<0没实数根
8.由抛物线焦点到其切线的垂线，是焦点到切点的距离，与到顶点距离的比例中项。