射影定理

射影射影就是正投影，从一点到过顶点垂直于底边的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影，即射影定理。

直角三角形射影定理直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

公式如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：

（1）（BD）^2=AD·DC，

（2）（AB）^2=AD·AC ，

（3）（BC）^2=CD·AC 。

证明：在 △BAD与△BCD中，∠A+∠C=90°，∠DBC+∠C=90°，∴∠A=∠DBC，又∵∠BDA=∠BDC=90°，∴△BAD∽△CBD相似，∴ AD/BD＝BD/CD，即（BD）^2=AD·DC。其余类似可证。(也可以用勾股定理证明)

注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。由公式（2）+（3）得：

（AB）^2+（BC）^2=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=（AC）^2，

即 （AB）^2+（BC）^2=（AC）^2。

这就是勾股定理的结论。

任意三角形射影定理任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”：

设⊿ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有

a＝b·cosC＋c·cosB，

b＝c·cosA＋a·cosC，

c＝a·cosB＋b·cosA。

注：以“a＝b·cosC＋c·cosB”为例，b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故名射影定理。

证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且

BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC＋c·cosB.同理可证其余。

证明2：由正弦定理，可得：b=asinB/sinA，c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA

=acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB＋b·cosA.同理可证其它的。